Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} y = 9$ , $x^{2} + 4 y + 12 = 0$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y = 9$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y = 9$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + 4 y + 12 = 0$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + 4 y + 12 = 0$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + 4 y + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + 4 y + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + 4 y + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + 4 y + 12 = 0$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\frac{9}{x^{2}}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $y$ in $x^{2} + 4 y + 12 = 0$ durch $\frac{9}{x^{2}}$ .

$x^{2} + 4 (\frac{9}{x^{2}}) + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere $4 (\frac{9}{x^{2}})$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kombiniere $4$ und $\frac{9}{x^{2}}$ .

$x^{2} + \frac{4 \cdot 9}{x^{2}} + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$x^{2} + \frac{36}{x^{2}} + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + \frac{36}{x^{2}} + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + \frac{36}{x^{2}} + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + \frac{36}{x^{2}} + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 3

Löse in $x^{2} + \frac{36}{x^{2}} + 12 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x^{2}, 1, 1$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 3.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $x^{2} + \frac{36}{x^{2}} + 12 = 0$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $x^{2} + \frac{36}{x^{2}} + 12 = 0$ mit $x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + \frac{36}{x^{2}} \cdot x^{2} + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2 + 2} + \frac{36}{x^{2}} \cdot x^{2} + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$x^{4} + \frac{36}{x^{2}} \cdot x^{2} + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{4} + \frac{36}{x^{2}} \cdot x^{2} + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{4} + \frac{36}{x^{2}} \cdot x^{2} + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{4} + 36 + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{4} + 36 + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{4} + 36 + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{4} + 36 + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x^{2}$ .

$x^{4} + 36 + 12 x^{2} = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{4} + 36 + 12 x^{2} = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{4} + 36 + 12 x^{2} = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} + 12 u + 36 = 0$

$u = x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.3.2.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$u^{2} + 12 u + 6^{2} = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$12 u = 2 \cdot u \cdot 6$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 3.3.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 6 + 6^{2} = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 3.3.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 6$ .

${(u + 6)}^{2} = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

${(u + 6)}^{2} = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 3.3.3

Setze $u + 6$ gleich $0$ .

$u + 6 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 3.3.4

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 6$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 3.3.5

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = - 6$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 3.3.6

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 3.3.6.2

Vereinfache $\pm \sqrt{- 6}$ .

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Schritt 3.3.6.2.1

Schreibe $- 6$ als $- 1 (6)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 \cdot 6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 3.3.6.2.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (6)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 3.3.6.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x = \pm i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 3.3.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.6.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 3.3.6.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 3.3.6.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $i \sqrt{6}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $x$ in $y = \frac{9}{x^{2}}$ durch $i \sqrt{6}$ .

$y = \frac{9}{{(i \sqrt{6})}^{2}}$

$x = i \sqrt{6}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $\frac{9}{{(i \sqrt{6})}^{2}}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $i \sqrt{6}$ an.

$y = \frac{9}{i^{2} {\sqrt{6}}^{2}}$

$x = i \sqrt{6}$

Schritt 4.2.1.1.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$y = \frac{9}{- 1 {\sqrt{6}}^{2}}$

$x = i \sqrt{6}$

Schritt 4.2.1.1.3

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 4.2.1.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{9}{- 1 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

$x = i \sqrt{6}$

Schritt 4.2.1.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{9}{- 1 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

$x = i \sqrt{6}$

Schritt 4.2.1.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \frac{9}{- 1 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

$x = i \sqrt{6}$

Schritt 4.2.1.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{9}{- 1 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

$x = i \sqrt{6}$

Schritt 4.2.1.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{9}{- 1 \cdot 6}$

$x = i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{- 1 \cdot 6}$

$x = i \sqrt{6}$

Schritt 4.2.1.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{9}{- 1 \cdot 6}$

$x = i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{- 1 \cdot 6}$

$x = i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{- 1 \cdot 6}$

$x = i \sqrt{6}$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$y = \frac{9}{- 6}$

$x = i \sqrt{6}$

Schritt 4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $- 6$ .

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Schritt 4.2.1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$y = \frac{3 (3)}{- 6}$

$x = i \sqrt{6}$

Schritt 4.2.1.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$y = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot - 2}$

$x = i \sqrt{6}$

Schritt 4.2.1.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot - 2}$

$x = i \sqrt{6}$

Schritt 4.2.1.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3}{- 2}$

$x = i \sqrt{6}$

$y = \frac{3}{- 2}$

$x = i \sqrt{6}$

$y = \frac{3}{- 2}$

$x = i \sqrt{6}$

Schritt 4.2.1.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3}{2}$

$x = i \sqrt{6}$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = i \sqrt{6}$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = i \sqrt{6}$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = i \sqrt{6}$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = i \sqrt{6}$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- i \sqrt{6}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $x$ in $y = \frac{9}{x^{2}}$ durch $- i \sqrt{6}$ .

$y = \frac{9}{{(- i \sqrt{6})}^{2}}$

$x = - i \sqrt{6}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $\frac{9}{{(- i \sqrt{6})}^{2}}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- i \sqrt{6}$ an.

$y = \frac{9}{{(- i)}^{2} {\sqrt{6}}^{2}}$

$x = - i \sqrt{6}$

Schritt 5.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$y = \frac{9}{{(- 1)}^{2} i^{2} {\sqrt{6}}^{2}}$

$x = - i \sqrt{6}$

Schritt 5.2.1.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{9}{1 i^{2} {\sqrt{6}}^{2}}$

$x = - i \sqrt{6}$

Schritt 5.2.1.1.4

Mutltipliziere $i^{2}$ mit $1$ .

$y = \frac{9}{i^{2} {\sqrt{6}}^{2}}$

$x = - i \sqrt{6}$

Schritt 5.2.1.1.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$y = \frac{9}{- 1 {\sqrt{6}}^{2}}$

$x = - i \sqrt{6}$

Schritt 5.2.1.1.6

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 5.2.1.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{9}{- 1 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

$x = - i \sqrt{6}$

Schritt 5.2.1.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{9}{- 1 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

$x = - i \sqrt{6}$

Schritt 5.2.1.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \frac{9}{- 1 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

$x = - i \sqrt{6}$

Schritt 5.2.1.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{9}{- 1 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

$x = - i \sqrt{6}$

Schritt 5.2.1.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{9}{- 1 \cdot 6}$

$x = - i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{- 1 \cdot 6}$

$x = - i \sqrt{6}$

Schritt 5.2.1.1.6.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{9}{- 1 \cdot 6}$

$x = - i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{- 1 \cdot 6}$

$x = - i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{- 1 \cdot 6}$

$x = - i \sqrt{6}$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$y = \frac{9}{- 6}$

$x = - i \sqrt{6}$

Schritt 5.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $- 6$ .

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Schritt 5.2.1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$y = \frac{3 (3)}{- 6}$

$x = - i \sqrt{6}$

Schritt 5.2.1.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$y = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot - 2}$

$x = - i \sqrt{6}$

Schritt 5.2.1.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot - 2}$

$x = - i \sqrt{6}$

Schritt 5.2.1.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3}{- 2}$

$x = - i \sqrt{6}$

$y = \frac{3}{- 2}$

$x = - i \sqrt{6}$

$y = \frac{3}{- 2}$

$x = - i \sqrt{6}$

Schritt 5.2.1.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3}{2}$

$x = - i \sqrt{6}$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = - i \sqrt{6}$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = - i \sqrt{6}$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = - i \sqrt{6}$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = - i \sqrt{6}$

Schritt 6

Liste alle Lösungen auf.

$y = - \frac{3}{2}, x = i \sqrt{6}$

$y = - \frac{3}{2}, x = - i \sqrt{6}$

Schritt 7