Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + y^{2} = 8$ , $y^{2} = 2 x$

Schritt 1

Löse in $y^{2} = 2 x$ nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

Schritt 1.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

Schritt 1.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

Schritt 1.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{2 x}$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

Schritt 2

Löse das System $y = \sqrt{2 x}, x^{2} + y^{2} = 8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\sqrt{2 x}$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Ersetze alle $y$ in $x^{2} + y^{2} = 8$ durch $\sqrt{2 x}$ .

$x^{2} + {(\sqrt{2 x})}^{2} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Schreibe ${\sqrt{2 x}}^{2}$ als $2 x$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x}$ als ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x^{2} + {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

Schritt 2.1.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

Schritt 2.1.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

Schritt 2.1.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

Schritt 2.1.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

Schritt 2.1.2.1.5

Vereinfache.

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

Schritt 2.2

Löse in $x^{2} + 2 x = 8$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 2 x - 8 = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $2$ ist.

$- 2, 4$

$y = \sqrt{2 x}$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 2) (x + 4) = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

$(x - 2) (x + 4) = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

Schritt 2.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

Schritt 2.2.4

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

Schritt 2.2.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

$y = \sqrt{2 x}$

$x = 2$

$y = \sqrt{2 x}$

Schritt 2.2.5

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

Schritt 2.2.5.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

$y = \sqrt{2 x}$

$x = - 4$

$y = \sqrt{2 x}$

Schritt 2.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 4$

$y = \sqrt{2 x}$

$x = 2, - 4$

$y = \sqrt{2 x}$

Schritt 2.3

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $2$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Ersetze alle $x$ in $y = \sqrt{2 x}$ durch $2$ .

$y = \sqrt{2 (2)}$

$x = 2$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Vereinfache $\sqrt{2 (2)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \sqrt{4}$

$x = 2$

Schritt 2.3.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \sqrt{2^{2}}$

$x = 2$

Schritt 2.3.2.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

Schritt 2.4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 4$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Ersetze alle $x$ in $y = \sqrt{2 x}$ durch $- 4$ .

$y = \sqrt{2 (- 4)}$

$x = - 4$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Vereinfache $\sqrt{2 (- 4)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$y = \sqrt{- 8}$

$x = - 4$

Schritt 2.4.2.1.2

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$y = \sqrt{- 1 \cdot 8}$

$x = - 4$

Schritt 2.4.2.1.3

Schreibe $\sqrt{- 1 (8)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ um.

$y = \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$

$x = - 4$

Schritt 2.4.2.1.4

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = i \cdot \sqrt{8}$

$x = - 4$

Schritt 2.4.2.1.5

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = i \cdot \sqrt{4 (2)}$

$x = - 4$

Schritt 2.4.2.1.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

$x = - 4$

$y = i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

$x = - 4$

Schritt 2.4.2.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = i \cdot (2 \sqrt{2})$

$x = - 4$

Schritt 2.4.2.1.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

Schritt 3

Löse das System $y = - \sqrt{2 x}, x^{2} + y^{2} = 8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- \sqrt{2 x}$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Ersetze alle $y$ in $x^{2} + y^{2} = 8$ durch $- \sqrt{2 x}$ .

$x^{2} + {(- \sqrt{2 x})}^{2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2 x}$ an.

$x^{2} + {(- 1)}^{2} {\sqrt{2 x}}^{2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Schritt 3.1.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} + 1 {\sqrt{2 x}}^{2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Schritt 3.1.2.1.3

Mutltipliziere ${\sqrt{2 x}}^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} + {\sqrt{2 x}}^{2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Schritt 3.1.2.1.4

Schreibe ${\sqrt{2 x}}^{2}$ als $2 x$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x}$ als ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x^{2} + {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Schritt 3.1.2.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Schritt 3.1.2.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Schritt 3.1.2.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Schritt 3.1.2.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Schritt 3.1.2.1.4.5

Vereinfache.

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Schritt 3.2

Löse in $x^{2} + 2 x = 8$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 2 x - 8 = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $2$ ist.

$- 2, 4$

$y = - \sqrt{2 x}$

Schritt 3.2.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 2) (x + 4) = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

$(x - 2) (x + 4) = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

Schritt 3.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

Schritt 3.2.4

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

Schritt 3.2.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x = 2$

$y = - \sqrt{2 x}$

Schritt 3.2.5

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

Schritt 3.2.5.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x = - 4$

$y = - \sqrt{2 x}$

Schritt 3.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 4$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x = 2, - 4$

$y = - \sqrt{2 x}$

Schritt 3.3

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $2$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Ersetze alle $x$ in $y = - \sqrt{2 x}$ durch $2$ .

$y = - \sqrt{2 (2)}$

$x = 2$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Vereinfache $- \sqrt{2 (2)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = - \sqrt{4}$

$x = 2$

Schritt 3.3.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = - \sqrt{2^{2}}$

$x = 2$

Schritt 3.3.2.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = - 1 \cdot 2$

$x = 2$

Schritt 3.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = - 2$

$x = 2$

$y = - 2$

$x = 2$

$y = - 2$

$x = 2$

$y = - 2$

$x = 2$

Schritt 3.4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 4$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Ersetze alle $x$ in $y = - \sqrt{2 x}$ durch $- 4$ .

$y = - \sqrt{2 (- 4)}$

$x = - 4$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Vereinfache $- \sqrt{2 (- 4)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$y = - \sqrt{- 8}$

$x = - 4$

Schritt 3.4.2.1.2

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$y = - \sqrt{- 1 \cdot 8}$

$x = - 4$

Schritt 3.4.2.1.3

Schreibe $\sqrt{- 1 (8)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ um.

$y = - (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8})$

$x = - 4$

Schritt 3.4.2.1.4

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = - (i \cdot \sqrt{8})$

$x = - 4$

Schritt 3.4.2.1.5

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = - (i \cdot \sqrt{4 (2)})$

$x = - 4$

Schritt 3.4.2.1.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = - (i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

$x = - 4$

$y = - (i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

$x = - 4$

Schritt 3.4.2.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = - (i \cdot (2 \sqrt{2}))$

$x = - 4$

Schritt 3.4.2.1.7

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1.7.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = - (2 \cdot (i \sqrt{2}))$

$x = - 4$

Schritt 3.4.2.1.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

Schritt 4

Liste alle Lösungen auf.

$y = 2, x = 2$

$y = 2 i \sqrt{2}, x = - 4$

$y = - 2, x = 2$

$y = - 2 i \sqrt{2}, x = - 4$

Schritt 5