Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} = 2 y + 10$ , $3 x - y = 9$

Schritt 1

Löse in $3 x - y = 9$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 9 + y$

$x^{2} = 2 y + 10$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 9 + y$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 9 + y$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{9}{3} + \frac{y}{3}$

$x^{2} = 2 y + 10$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{9}{3} + \frac{y}{3}$

$x^{2} = 2 y + 10$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{9}{3} + \frac{y}{3}$

$x^{2} = 2 y + 10$

$x = \frac{9}{3} + \frac{y}{3}$

$x^{2} = 2 y + 10$

$x = \frac{9}{3} + \frac{y}{3}$

$x^{2} = 2 y + 10$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Dividiere $9$ durch $3$ .

$x = 3 + \frac{y}{3}$

$x^{2} = 2 y + 10$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

$x^{2} = 2 y + 10$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

$x^{2} = 2 y + 10$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

$x^{2} = 2 y + 10$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $3 + \frac{y}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $x^{2} = 2 y + 10$ durch $3 + \frac{y}{3}$ .

${(3 + \frac{y}{3})}^{2} = 2 y + 10$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${(3 + \frac{y}{3})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Schreibe ${(3 + \frac{y}{3})}^{2}$ als $(3 + \frac{y}{3}) (3 + \frac{y}{3})$ um.

$(3 + \frac{y}{3}) (3 + \frac{y}{3}) = 2 y + 10$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere $(3 + \frac{y}{3}) (3 + \frac{y}{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (3 + \frac{y}{3}) + \frac{y}{3} \cdot (3 + \frac{y}{3}) = 2 y + 10$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

Schritt 2.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \cdot 3 + 3 (\frac{y}{3}) + \frac{y}{3} \cdot (3 + \frac{y}{3}) = 2 y + 10$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

Schritt 2.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \cdot 3 + 3 (\frac{y}{3}) + \frac{y}{3} \cdot 3 + \frac{y}{3} \cdot \frac{y}{3} = 2 y + 10$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

$3 \cdot 3 + 3 (\frac{y}{3}) + \frac{y}{3} \cdot 3 + \frac{y}{3} \cdot \frac{y}{3} = 2 y + 10$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

Schritt 2.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 + 3 (\frac{y}{3}) + \frac{y}{3} \cdot 3 + \frac{y}{3} \cdot \frac{y}{3} = 2 y + 10$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

Schritt 2.2.1.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 + 3 (\frac{y}{3}) + \frac{y}{3} \cdot 3 + \frac{y}{3} \cdot \frac{y}{3} = 2 y + 10$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

Schritt 2.2.1.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$9 + y + \frac{y}{3} \cdot 3 + \frac{y}{3} \cdot \frac{y}{3} = 2 y + 10$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

$9 + y + \frac{y}{3} \cdot 3 + \frac{y}{3} \cdot \frac{y}{3} = 2 y + 10$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

Schritt 2.2.1.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 + y + \frac{y}{3} \cdot 3 + \frac{y}{3} \cdot \frac{y}{3} = 2 y + 10$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

Schritt 2.2.1.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$9 + y + y + \frac{y}{3} \cdot \frac{y}{3} = 2 y + 10$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

$9 + y + y + \frac{y}{3} \cdot \frac{y}{3} = 2 y + 10$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

Schritt 2.2.1.3.1.4

Multipliziere $\frac{y}{3} \cdot \frac{y}{3}$ .

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Schritt 2.2.1.3.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{y}{3}$ mit $\frac{y}{3}$ .

$9 + y + y + \frac{y \cdot y}{3 \cdot 3} = 2 y + 10$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

Schritt 2.2.1.3.1.4.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$9 + y + y + \frac{y \cdot y}{3 \cdot 3} = 2 y + 10$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

Schritt 2.2.1.3.1.4.3

Potenziere $y$ mit $1$ .

$9 + y + y + \frac{y \cdot y}{3 \cdot 3} = 2 y + 10$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

Schritt 2.2.1.3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$9 + y + y + \frac{y^{1 + 1}}{3 \cdot 3} = 2 y + 10$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

Schritt 2.2.1.3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$9 + y + y + \frac{y^{2}}{3 \cdot 3} = 2 y + 10$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

Schritt 2.2.1.3.1.4.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 + y + y + \frac{y^{2}}{9} = 2 y + 10$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

$9 + y + y + \frac{y^{2}}{9} = 2 y + 10$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

$9 + y + y + \frac{y^{2}}{9} = 2 y + 10$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

Schritt 2.2.1.3.2

Addiere $y$ und $y$ .

$9 + 2 y + \frac{y^{2}}{9} = 2 y + 10$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

$9 + 2 y + \frac{y^{2}}{9} = 2 y + 10$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

$9 + 2 y + \frac{y^{2}}{9} = 2 y + 10$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

$9 + 2 y + \frac{y^{2}}{9} = 2 y + 10$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

$9 + 2 y + \frac{y^{2}}{9} = 2 y + 10$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

Schritt 3

Löse in $9 + 2 y + \frac{y^{2}}{9} = 2 y + 10$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 + 2 y + \frac{y^{2}}{9} - 2 y = 10$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

Schritt 3.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $9 + 2 y + \frac{y^{2}}{9} - 2 y$ .

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Schritt 3.1.2.1

Subtrahiere $2 y$ von $2 y$ .

$9 + \frac{y^{2}}{9} + 0 = 10$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $9 + \frac{y^{2}}{9}$ und $0$ .

$9 + \frac{y^{2}}{9} = 10$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

$9 + \frac{y^{2}}{9} = 10$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

$9 + \frac{y^{2}}{9} = 10$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{9} = 10 - 9$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $9$ von $10$ .

$\frac{y^{2}}{9} = 1$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

$\frac{y^{2}}{9} = 1$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

Schritt 3.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $9$ .

$9 (\frac{y^{2}}{9}) = 9 \cdot 1$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

Schritt 3.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 (\frac{y^{2}}{9}) = 9 \cdot 1$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

Schritt 3.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 9 \cdot 1$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

$y^{2} = 9 \cdot 1$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

$y^{2} = 9 \cdot 1$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$y^{2} = 9$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

$y^{2} = 9$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

$y^{2} = 9$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

Schritt 3.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{9}$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

Schritt 3.6

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 3.6.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{3^{2}}$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

Schritt 3.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \pm 3$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

$y = \pm 3$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

Schritt 3.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = 3$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

Schritt 3.7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - 3$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

Schritt 3.7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = 3, - 3$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

$y = 3, - 3$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

$y = 3, - 3$

$x = 3 + \frac{y}{3}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = 3 + \frac{y}{3}$ durch $3$ .

$x = 3 + \frac{3}{3}$

$y = 3$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $3 + \frac{3}{3}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Dividiere $3$ durch $3$ .

$x = 3 + 1$

$y = 3$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $3$ und $1$ .

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $y$ in $x = 3 + \frac{y}{3}$ durch $- 3$ .

$x = 3 + \frac{- 3}{3}$

$y = - 3$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $3 + \frac{- 3}{3}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Dividiere $- 3$ durch $3$ .

$x = 3 - 1$

$y = - 3$

Schritt 5.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$x = 2$

$y = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

Schritt 6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(4, 3)$

$(2, - 3)$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(4, 3), (2, - 3)$

Gleichungsform:

$x = 4, y = 3$

$x = 2, y = - 3$

Schritt 8