Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{3} - x^{2} - 5 x + 2}{x - 5}$

Schritt 1

Um den Rest zu berechnen, teile zunächst die Polynome.

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Schritt 1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$5$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$2$

Schritt 1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 5 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Schritt 1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Schritt 1.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$5 x$

Schritt 1.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$5 x$

Schritt 1.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$20 x$

Schritt 1.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x^{2} - 20 x$

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$20 x$

Schritt 1.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$15 x$

Schritt 1.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$15 x$	+	$2$

Schritt 1.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $15 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$15$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$15 x$	+	$2$

Schritt 1.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$15$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$15 x$	+	$2$
							+	$15 x$	-	$75$

Schritt 1.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $15 x - 75$

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$15$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$15 x$	+	$2$
							-	$15 x$	+	$75$

Schritt 1.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$15$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$15 x$	+	$2$
							-	$15 x$	+	$75$
									+	$77$

Schritt 1.16

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$x^{2} + 4 x + 15 + \frac{77}{x - 5}$

Schritt 2

Da der letzte Term im Ergebnisausdruck ein Bruch ist, ist der Zähler des Bruchs der Rest.

$77$