Elementarmathematik Beispiele

$25 x^{2} - 150 x + 9 y^{2} = 0$

Schritt 1

Wende die quadratische Ergänzung auf $25 x^{2} - 150 x$ an.

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Schritt 1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 25$

$b = - 150$

$c = 0$

Schritt 1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 150}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 150$ und $2$ .

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Schritt 1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 150$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 75}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 25$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 75}{2 (25)}$

Schritt 1.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 75}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 75}{25}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 75$ und $25$ .

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Schritt 1.3.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $- 75$ heraus.

$d = \frac{25 \cdot - 3}{25}$

Schritt 1.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $25$ heraus.

$d = \frac{25 \cdot - 3}{25 (1)}$

Schritt 1.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{25 \cdot - 3}{25 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 3}{1}$

Schritt 1.3.2.2.2.4

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$d = - 3$

Schritt 1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 150)}^{2}}{4 \cdot 25}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.1.1

Potenziere $- 150$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{22500}{4 \cdot 25}$

Schritt 1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $25$ .

$e = 0 - \frac{22500}{100}$

Schritt 1.4.2.1.3

Dividiere $22500$ durch $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 225$

Schritt 1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $225$ .

$e = 0 - 225$

Schritt 1.4.2.2

Subtrahiere $225$ von $0$ .

$e = - 225$

Schritt 1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $25 {(x - 3)}^{2} - 225$ ein.

$25 {(x - 3)}^{2} - 225$

Schritt 2

Setze $25 {(x - 3)}^{2} - 225$ für $25 x^{2} - 150 x$ ein in der Gleichung $25 x^{2} - 150 x + 9 y^{2} = 0$ .

$25 {(x - 3)}^{2} - 225 + 9 y^{2} = 0$

Schritt 3

Bringe $- 225$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $225$ auf beiden Seiten.

$25 {(x - 3)}^{2} + 9 y^{2} = 0 + 225$

Schritt 4

Addiere $0$ und $225$ .

$25 {(x - 3)}^{2} + 9 y^{2} = 225$

Schritt 5

Teile jeden Term durch $225$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{25 {(x - 3)}^{2}}{225} + \frac{9 y^{2}}{225} = \frac{225}{225}$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$