Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \ln (1 - e^{x})$

Schritt 1

Setze das Argument in $\ln (1 - e^{x})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$1 - e^{x} > 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- e^{x} > - 1$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- e^{x} > - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Term in $- e^{x} > - 1$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- e^{x}}{- 1} < \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{e^{x}}{1} < \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $e^{x}$ durch $1$ .

$e^{x} < \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$e^{x} < 1$

Schritt 2.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) < \ln (1)$

Schritt 2.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.4.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) < \ln (1)$

Schritt 2.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 < \ln (1)$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x < \ln (1)$

Schritt 2.5

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$x < 0$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x < 0}$

Schritt 4