Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + y^{2} - x + 10 y + 25 = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + y^{2} - x + 10 y = - 25$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} - x$ an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 1$

$c = 0$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 1$ und $1$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{4}$ von $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ ein.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Schritt 3

Setze ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ für $x^{2} - x$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - x + 10 y = - 25$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} + y^{2} + 10 y = - 25$

Schritt 4

Bringe $- \frac{1}{4}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{1}{4}$ auf beiden Seiten.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} + 10 y = - 25 + \frac{1}{4}$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} + 10 y$ an.

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Schritt 5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 10$

$c = 0$

Schritt 5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{10}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $2$ .

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{5}{1}$

Schritt 5.3.2.2.4

Dividiere $5$ durch $1$ .

$d = 5$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{10^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{100}{4}$

Schritt 5.4.2.1.3

Dividiere $100$ durch $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 25$

Schritt 5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$e = 0 - 25$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $25$ von $0$ .

$e = - 25$

Schritt 5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y + 5)}^{2} - 25$ ein.

${(y + 5)}^{2} - 25$

Schritt 6

Setze ${(y + 5)}^{2} - 25$ für $y^{2} + 10 y$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - x + 10 y = - 25$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 5)}^{2} - 25 = - 25 + \frac{1}{4}$

Schritt 7

Bringe $- 25$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $25$ auf beiden Seiten.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 5)}^{2} = - 25 + \frac{1}{4} + 25$

Schritt 8

Vereinfache $- 25 + \frac{1}{4} + 25$ .

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Schritt 8.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 8.1.1

Schreibe $- 25$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 5)}^{2} = \frac{- 25}{1} + \frac{1}{4} + 25$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $\frac{- 25}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 5)}^{2} = \frac{- 25}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} + 25$

Schritt 8.1.3

Mutltipliziere $\frac{- 25}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 5)}^{2} = \frac{- 25 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + 25$

Schritt 8.1.4

Schreibe $25$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 5)}^{2} = \frac{- 25 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{25}{1}$

Schritt 8.1.5

Mutltipliziere $\frac{25}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 5)}^{2} = \frac{- 25 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{25}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 8.1.6

Mutltipliziere $\frac{25}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 5)}^{2} = \frac{- 25 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{25 \cdot 4}{4}$

Schritt 8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 5)}^{2} = \frac{- 25 \cdot 4 + 1 + 25 \cdot 4}{4}$

Schritt 8.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $- 25$ mit $4$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 5)}^{2} = \frac{- 100 + 1 + 25 \cdot 4}{4}$

Schritt 8.3.2

Mutltipliziere $25$ mit $4$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 5)}^{2} = \frac{- 100 + 1 + 100}{4}$

Schritt 8.4

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 8.4.1

Addiere $- 100$ und $1$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 5)}^{2} = \frac{- 99 + 100}{4}$

Schritt 8.4.2

Addiere $- 99$ und $100$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 5)}^{2} = \frac{1}{4}$