Elementarmathematik Beispiele

${(y + 3)}^{2} = 4 (x - 1)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $4 (x - 1) = {(y + 3)}^{2}$ um.

$4 (x - 1) = {(y + 3)}^{2}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $4 (x - 1) = {(y + 3)}^{2}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 (x - 1) = {(y + 3)}^{2}$ durch $4$ .

$\frac{4 (x - 1)}{4} = \frac{{(y + 3)}^{2}}{4}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (x - 1)}{4} = \frac{{(y + 3)}^{2}}{4}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $x - 1$ durch $1$ .

$x - 1 = \frac{{(y + 3)}^{2}}{4}$

Schritt 3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{{(y + 3)}^{2}}{4} + 1$

Schritt 4

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$x = \frac{1}{4} \cdot {(y + 3)}^{2} + 1$

Schritt 4.2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{4}$

$h = 1$

$k = - 3$

Schritt 4.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach rechts geöffnet.

Öffnet nach Rechts

Schritt 4.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(1, - 3)$

Schritt 4.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 4.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 4.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache.

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Schritt 4.5.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Schritt 4.5.3.2

Vereinfache durch Teilen von Zahlen.

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Schritt 4.5.3.2.1

Dividiere $4$ durch $4$ .

$\frac{1}{1}$

Schritt 4.5.3.2.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1$

Schritt 4.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 4.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 4.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(2, - 3)$

Schritt 4.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = - 3$

Schritt 4.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 4.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 4.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = 0$

Schritt 4.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(1, - 3)$

Brennpunkt: $(2, - 3)$

Symmetrieachse: $y = - 3$

Leitlinie: $x = 0$

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(1, - 3)$

Brennpunkt: $(2, - 3)$

Symmetrieachse: $y = - 3$

Leitlinie: $x = 0$

Schritt 5

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 5.1

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = 2 \sqrt{x - 1} - 3$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, - 1)$ .

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Schritt 5.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = 2 \sqrt{(2) - 1} - 3$

Schritt 5.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.2.1.1

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f (2) = 2 \sqrt{1} - 3$

Schritt 5.1.2.1.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (2) = 2 \cdot 1 - 3$

Schritt 5.1.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (2) = 2 - 3$

Schritt 5.1.2.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$f (2) = - 1$

Schritt 5.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$y = - 1$

Schritt 5.1.3

Konvertiere $- 1$ nach Dezimal.

$= - 1$

Schritt 5.2

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = - 2 \sqrt{x - 1} - 3$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, - 5)$ .

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Schritt 5.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = - 2 \sqrt{(2) - 1} - 3$

Schritt 5.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f (2) = - 2 \sqrt{1} - 3$

Schritt 5.2.2.1.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (2) = - 2 \cdot 1 - 3$

Schritt 5.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (2) = - 2 - 3$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $3$ von $- 2$ .

$f (2) = - 5$

Schritt 5.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 5$ .

$y = - 5$

Schritt 5.2.3

Konvertiere $- 5$ nach Dezimal.

$= - 5$

Schritt 5.3

Setze den $x$ -Wert $3$ in $f (x) = 2 \sqrt{x - 1} - 3$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(3, - 0.17157287)$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = 2 \sqrt{(3) - 1} - 3$

Schritt 5.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.3.2.1

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$f (3) = 2 \sqrt{2} - 3$

Schritt 5.3.2.2

Die endgültige Lösung ist $2 \sqrt{2} - 3$ .

$y = 2 \sqrt{2} - 3$

Schritt 5.3.3

Konvertiere $2 \sqrt{2} - 3$ nach Dezimal.

$= - 0.17157287$

Schritt 5.4

Setze den $x$ -Wert $3$ in $f (x) = - 2 \sqrt{x - 1} - 3$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(3, - 5.82842712)$ .

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Schritt 5.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = - 2 \sqrt{(3) - 1} - 3$

Schritt 5.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.4.2.1

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$f (3) = - 2 \sqrt{2} - 3$

Schritt 5.4.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 2 \sqrt{2} - 3$ .

$y = - 2 \sqrt{2} - 3$

Schritt 5.4.3

Konvertiere $- 2 \sqrt{2} - 3$ nach Dezimal.

$= - 5.82842712$

Schritt 5.5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & - 3 \\ 2 & - 1 \\ 2 & - 5 \\ 3 & - 0.17 \\ 3 & - 5.83 \end{array}$

Schritt 6

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(1, - 3)$

Brennpunkt: $(2, - 3)$

Symmetrieachse: $y = - 3$

Leitlinie: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & - 3 \\ 2 & - 1 \\ 2 & - 5 \\ 3 & - 0.17 \\ 3 & - 5.83 \end{array}$

Schritt 7