Elementarmathematik Beispiele

${(y - 1)}^{2} = 8 (x + 3)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $8 (x + 3) = {(y - 1)}^{2}$ um.

$8 (x + 3) = {(y - 1)}^{2}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $8 (x + 3) = {(y - 1)}^{2}$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 (x + 3) = {(y - 1)}^{2}$ durch $8$ .

$\frac{8 (x + 3)}{8} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{8}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 (x + 3)}{8} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{8}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $x + 3$ durch $1$ .

$x + 3 = \frac{{(y - 1)}^{2}}{8}$

Schritt 3

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{{(y - 1)}^{2}}{8} - 3$

Schritt 4

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$x = \frac{1}{8} \cdot {(y - 1)}^{2} - 3$

Schritt 4.2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{8}$

$h = - 3$

$k = 1$

Schritt 4.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach rechts geöffnet.

Öffnet nach Rechts

Schritt 4.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 3, 1)$

Schritt 4.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 4.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 4.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{8}}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache.

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Schritt 4.5.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{8}}$

Schritt 4.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 4.5.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Schritt 4.5.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.5.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Schritt 4.5.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Schritt 4.5.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.5.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \cdot 2$

Schritt 4.5.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 4.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 4.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 4.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 1, 1)$

Schritt 4.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = 1$

Schritt 4.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 4.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 4.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = - 5$

Schritt 4.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(- 3, 1)$

Brennpunkt: $(- 1, 1)$

Symmetrieachse: $y = 1$

Leitlinie: $x = - 5$

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(- 3, 1)$

Brennpunkt: $(- 1, 1)$

Symmetrieachse: $y = 1$

Leitlinie: $x = - 5$

Schritt 5

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 5.1

Setze den $x$ -Wert $- 2$ in $f (x) = 2 \sqrt{2 (x + 3)} + 1$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 2, 3.82842712)$ .

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Schritt 5.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = 2 \sqrt{2 ((- 2) + 3)} + 1$

Schritt 5.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.2.1.1

Addiere $- 2$ und $3$ .

$f (- 2) = 2 \sqrt{2 \cdot 1} + 1$

Schritt 5.1.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (- 2) = 2 \sqrt{2} + 1$

Schritt 5.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $2 \sqrt{2} + 1$ .

$y = 2 \sqrt{2} + 1$

Schritt 5.1.3

Konvertiere $2 \sqrt{2} + 1$ nach Dezimal.

$= 3.82842712$

Schritt 5.2

Setze den $x$ -Wert $- 2$ in $f (x) = - 2 \sqrt{2 (x + 3)} + 1$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 2, - 1.82842712)$ .

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Schritt 5.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2 ((- 2) + 3)} + 1$

Schritt 5.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Addiere $- 2$ und $3$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2 \cdot 1} + 1$

Schritt 5.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2} + 1$

Schritt 5.2.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 2 \sqrt{2} + 1$ .

$y = - 2 \sqrt{2} + 1$

Schritt 5.2.3

Konvertiere $- 2 \sqrt{2} + 1$ nach Dezimal.

$= - 1.82842712$

Schritt 5.3

Setze den $x$ -Wert $- 1$ in $f (x) = 2 \sqrt{2 (x + 3)} + 1$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 1, 5)$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = 2 \sqrt{2 ((- 1) + 3)} + 1$

Schritt 5.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.1

Addiere $- 1$ und $3$ .

$f (- 1) = 2 \sqrt{2 \cdot 2} + 1$

Schritt 5.3.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- 1) = 2 \sqrt{4} + 1$

Schritt 5.3.2.1.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (- 1) = 2 \sqrt{2^{2}} + 1$

Schritt 5.3.2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- 1) = 2 \cdot 2 + 1$

Schritt 5.3.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- 1) = 4 + 1$

Schritt 5.3.2.2

Addiere $4$ und $1$ .

$f (- 1) = 5$

Schritt 5.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $5$ .

$y = 5$

Schritt 5.3.3

Konvertiere $5$ nach Dezimal.

$= 5$

Schritt 5.4

Setze den $x$ -Wert $- 1$ in $f (x) = - 2 \sqrt{2 (x + 3)} + 1$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 1, - 3)$ .

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Schritt 5.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = - 2 \sqrt{2 ((- 1) + 3)} + 1$

Schritt 5.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Addiere $- 1$ und $3$ .

$f (- 1) = - 2 \sqrt{2 \cdot 2} + 1$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- 1) = - 2 \sqrt{4} + 1$

Schritt 5.4.2.1.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (- 1) = - 2 \sqrt{2^{2}} + 1$

Schritt 5.4.2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- 1) = - 2 \cdot 2 + 1$

Schritt 5.4.2.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 1) = - 4 + 1$

Schritt 5.4.2.2

Addiere $- 4$ und $1$ .

$f (- 1) = - 3$

Schritt 5.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$y = - 3$

Schritt 5.4.3

Konvertiere $- 3$ nach Dezimal.

$= - 3$

Schritt 5.5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 1 \\ - 2 & 3.83 \\ - 2 & - 1.83 \\ - 1 & 5 \\ - 1 & - 3 \end{array}$

Schritt 6

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(- 3, 1)$

Brennpunkt: $(- 1, 1)$

Symmetrieachse: $y = 1$

Leitlinie: $x = - 5$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 1 \\ - 2 & 3.83 \\ - 2 & - 1.83 \\ - 1 & 5 \\ - 1 & - 3 \end{array}$

Schritt 7