Elementarmathematik Beispiele

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{49} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{49} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 7$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 1$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Hyperbel folgt der Form von $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(1, - 3)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(7)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$\sqrt{49 + {(3)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{49 + 9}$

Schritt 5.3.3

Addiere $49$ und $9$ .

$\sqrt{58}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $a$ zu $h$ ermittelt werden.

$(h + a, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(8, - 3)$

Schritt 6.3

Der zweite Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $a$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - a, k)$

Schritt 6.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 6, - 3)$

Schritt 6.5

Die Scheitelpunkte einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm a, k)$ . Hyperbeln haben zwei Scheitelpunkte.

$(8, - 3), (- 6, - 3)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $c$ zu $h$ gefunden werden.

$(h + c, k)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(1 + \sqrt{58}, - 3)$

Schritt 7.3

Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $c$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - c, k)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(1 - \sqrt{58}, - 3)$

Schritt 7.5

Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.

$(1 + \sqrt{58}, - 3), (1 - \sqrt{58}, - 3)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(7)}^{2} + {(3)}^{2}}}{7}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{49 + 3^{2}}}{7}$

Schritt 8.3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{49 + 9}}{7}$

Schritt 8.3.3

Addiere $49$ und $9$ .

$\frac{\sqrt{58}}{7}$

Schritt 9

Bestimme den fokalen Parameter.

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Schritt 9.1

Ermittle den Wert für den fokalen Parameter der Hyperbel mithilfe der folgenden Formel.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Schritt 9.2

Ersetze die Werte von $b$ und $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ in der Formel.

$\frac{3^{2}}{\sqrt{58}}$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{9}{\sqrt{58}}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $\frac{9}{\sqrt{58}}$ mit $\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ .

$\frac{9}{\sqrt{58}} \cdot \frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$

Schritt 9.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{9}{\sqrt{58}}$ mit $\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ .

$\frac{9 \sqrt{58}}{\sqrt{58} \sqrt{58}}$

Schritt 9.3.3.2

Potenziere $\sqrt{58}$ mit $1$ .

$\frac{9 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} \sqrt{58}}$

Schritt 9.3.3.3

Potenziere $\sqrt{58}$ mit $1$ .

$\frac{9 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} {\sqrt{58}}^{1}}$

Schritt 9.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{9 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{9 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{2}}$

Schritt 9.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{58}}^{2}$ als $58$ um.

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Schritt 9.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{58}$ als $58^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{9 \sqrt{58}}{{(58^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 \sqrt{58}}{58^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{9 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 \sqrt{58}}{58^{1}}$

Schritt 9.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{9 \sqrt{58}}{58}$

Schritt 10

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , da diese Hyperbel sich nach links und rechts öffnet.

$y = \pm \frac{3}{7} \cdot (x - (1)) - 3$

Schritt 11

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{3}{7} \cdot (x - (1)) - 3$

Schritt 11.2

Vereinfache $\frac{3}{7} \cdot (x - (1)) - 3$ .

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = \frac{3}{7} \cdot (x - 1) - 3$

Schritt 11.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{3}{7} x + \frac{3}{7} \cdot - 1 - 3$

Schritt 11.2.1.3

Kombiniere $\frac{3}{7}$ und $x$ .

$y = \frac{3 x}{7} + \frac{3}{7} \cdot - 1 - 3$

Schritt 11.2.1.4

Multipliziere $\frac{3}{7} \cdot - 1$ .

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Schritt 11.2.1.4.1

Kombiniere $\frac{3}{7}$ und $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{7} + \frac{3 \cdot - 1}{7} - 3$

Schritt 11.2.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{7} + \frac{- 3}{7} - 3$

Schritt 11.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{3 x}{7} - \frac{3}{7} - 3$

Schritt 11.2.2

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{3 x}{7} - \frac{3}{7} - 3 \cdot \frac{7}{7}$

Schritt 11.2.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{3 x}{7} - \frac{3}{7} + \frac{- 3 \cdot 7}{7}$

Schritt 11.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{3 x}{7} + \frac{- 3 - 3 \cdot 7}{7}$

Schritt 11.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.5.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $7$ .

$y = \frac{3 x}{7} + \frac{- 3 - 21}{7}$

Schritt 11.2.5.2

Subtrahiere $21$ von $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{7} + \frac{- 24}{7}$

Schritt 11.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{3 x}{7} - \frac{24}{7}$

Schritt 12

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 12.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{3}{7} \cdot (x - (1)) - 3$

Schritt 12.2

Vereinfache $- \frac{3}{7} \cdot (x - (1)) - 3$ .

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = - \frac{3}{7} \cdot (x - 1) - 3$

Schritt 12.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{3}{7} x - \frac{3}{7} \cdot - 1 - 3$

Schritt 12.2.1.3

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{7}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{7} - \frac{3}{7} \cdot - 1 - 3$

Schritt 12.2.1.4

Multipliziere $- \frac{3}{7} \cdot - 1$ .

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Schritt 12.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{7} + 1 (\frac{3}{7}) - 3$

Schritt 12.2.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{3}{7}$ mit $1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{7} + \frac{3}{7} - 3$

Schritt 12.2.1.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{3 x}{7} + \frac{3}{7} - 3$

Schritt 12.2.2

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{3 x}{7} + \frac{3}{7} - 3 \cdot \frac{7}{7}$

Schritt 12.2.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{3 x}{7} + \frac{3}{7} + \frac{- 3 \cdot 7}{7}$

Schritt 12.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{3 x}{7} + \frac{3 - 3 \cdot 7}{7}$

Schritt 12.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.2.5.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $7$ .

$y = - \frac{3 x}{7} + \frac{3 - 21}{7}$

Schritt 12.2.5.2

Subtrahiere $21$ von $3$ .

$y = - \frac{3 x}{7} + \frac{- 18}{7}$

Schritt 12.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3 x}{7} - \frac{18}{7}$

Schritt 13

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = \frac{3 x}{7} - \frac{24}{7}, y = - \frac{3 x}{7} - \frac{18}{7}$

Schritt 14

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Hyperbel dar.

Mittelpunkt: $(1, - 3)$

Scheitelpunkte: $(8, - 3), (- 6, - 3)$

Brennpunkte: $(1 + \sqrt{58}, - 3), (1 - \sqrt{58}, - 3)$

Exzentrizität: $\frac{\sqrt{58}}{7}$

Fokaler Parameter: $\frac{9 \sqrt{58}}{58}$

Asymptoten: $y = \frac{3 x}{7} - \frac{24}{7}$ , $y = - \frac{3 x}{7} - \frac{18}{7}$

Schritt 15