Elementarmathematik Beispiele

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9} = 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 4$

$b = 3$

$k = 1$

$h = 3$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Hyperbel folgt der Form von $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(3, 1)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{16 + {(3)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{16 + 9}$

Schritt 5.3.3

Addiere $16$ und $9$ .

$\sqrt{25}$

Schritt 5.3.4

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\sqrt{5^{2}}$

Schritt 5.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$5$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $a$ zu $h$ ermittelt werden.

$(h + a, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(7, 1)$

Schritt 6.3

Der zweite Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $a$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - a, k)$

Schritt 6.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 1, 1)$

Schritt 6.5

Die Scheitelpunkte einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm a, k)$ . Hyperbeln haben zwei Scheitelpunkte.

$(7, 1), (- 1, 1)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $c$ zu $h$ gefunden werden.

$(h + c, k)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(8, 1)$

Schritt 7.3

Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $c$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - c, k)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 2, 1)$

Schritt 7.5

Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.

$(8, 1), (- 2, 1)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}}{4}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 3^{2}}}{4}$

Schritt 8.3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 9}}{4}$

Schritt 8.3.3

Addiere $16$ und $9$ .

$\frac{\sqrt{25}}{4}$

Schritt 8.3.4

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{4}$

Schritt 8.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{5}{4}$

Schritt 9

Bestimme den fokalen Parameter.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Ermittle den Wert für den fokalen Parameter der Hyperbel mithilfe der folgenden Formel.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Schritt 9.2

Ersetze die Werte von $b$ und $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ in der Formel.

$\frac{3^{2}}{5}$

Schritt 9.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{9}{5}$

Schritt 10

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , da diese Hyperbel sich nach links und rechts öffnet.

$y = \pm \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 1$

Schritt 11

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 1$

Schritt 11.2

Vereinfache $\frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - 3) + 1$

Schritt 11.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 3 + 1$

Schritt 11.2.1.3

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 3 + 1$

Schritt 11.2.1.4

Multipliziere $\frac{3}{4} \cdot - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.4.1

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3 \cdot - 3}{4} + 1$

Schritt 11.2.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 9}{4} + 1$

Schritt 11.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4} + 1$

Schritt 11.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4} + \frac{4}{4}$

Schritt 11.2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 9 + 4}{4}$

Schritt 11.2.2.3

Addiere $- 9$ und $4$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 5}{4}$

Schritt 11.2.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{5}{4}$

Schritt 12

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 1$

Schritt 12.2

Vereinfache $- \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - 3) + 1$

Schritt 12.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot - 3 + 1$

Schritt 12.2.1.3

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot - 3 + 1$

Schritt 12.2.1.4

Multipliziere $- \frac{3}{4} \cdot - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + 3 (\frac{3}{4}) + 1$

Schritt 12.2.1.4.2

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{3 \cdot 3}{4} + 1$

Schritt 12.2.1.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{9}{4} + 1$

Schritt 12.2.1.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4} + 1$

Schritt 12.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4} + \frac{4}{4}$

Schritt 12.2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9 + 4}{4}$

Schritt 12.2.2.3

Addiere $9$ und $4$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{13}{4}$

Schritt 13

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{5}{4}, y = - \frac{3 x}{4} + \frac{13}{4}$

Schritt 14

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Hyperbel dar.

Mittelpunkt: $(3, 1)$

Scheitelpunkte: $(7, 1), (- 1, 1)$

Brennpunkte: $(8, 1), (- 2, 1)$

Exzentrizität: $\frac{5}{4}$

Fokaler Parameter: $\frac{9}{5}$

Asymptoten: $y = \frac{3 x}{4} - \frac{5}{4}$ , $y = - \frac{3 x}{4} + \frac{13}{4}$

Schritt 15