Elementarmathematik Beispiele

$\frac{y^{2}}{64} - \frac{x^{2}}{16} = 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{y^{2}}{64} - \frac{x^{2}}{16} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 8$

$b = 4$

$k = 0$

$h = 0$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Hyperbel folgt der Form von $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(0, 0)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(8)}^{2} + {(4)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\sqrt{64 + {(4)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{64 + 16}$

Schritt 5.3.3

Addiere $64$ und $16$ .

$\sqrt{80}$

Schritt 5.3.4

Schreibe $80$ als $4^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere $16$ aus $80$ heraus.

$\sqrt{16 (5)}$

Schritt 5.3.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\sqrt{4^{2} \cdot 5}$

Schritt 5.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$4 \sqrt{5}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $a$ zu $k$ ermittelt werden.

$(h, k + a)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(0, 8)$

Schritt 6.3

Der zweite Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $a$ von $k$ ermittelt werden.

$(h, k - a)$

Schritt 6.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(0, - 8)$

Schritt 6.5

Die Scheitelpunkte einer Hyperbel folgen der Form $(h, k \pm a)$ . Hyperbeln haben zwei Scheitelpunkte.

$(0, 8), (0, - 8)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(0, 4 \sqrt{5})$

Schritt 7.3

Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $c$ von $k$ ermittelt werden.

$(h, k - c)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(0, - 4 \sqrt{5})$

Schritt 7.5

Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.

$(0, 4 \sqrt{5}), (0, - 4 \sqrt{5})$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(8)}^{2} + {(4)}^{2}}}{8}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{64 + 4^{2}}}{8}$

Schritt 8.3.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{64 + 16}}{8}$

Schritt 8.3.1.3

Addiere $64$ und $16$ .

$\frac{\sqrt{80}}{8}$

Schritt 8.3.1.4

Schreibe $80$ als $4^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 8.3.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $80$ heraus.

$\frac{\sqrt{16 (5)}}{8}$

Schritt 8.3.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 5}}{8}$

Schritt 8.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{4 \sqrt{5}}{8}$

Schritt 8.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{5}$ heraus.

$\frac{4 (\sqrt{5})}{8}$

Schritt 8.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{4 \sqrt{5}}{4 \cdot 2}$

Schritt 8.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sqrt{5}}{4 \cdot 2}$

Schritt 8.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Schritt 9

Bestimme den fokalen Parameter.

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Schritt 9.1

Ermittle den Wert für den fokalen Parameter der Hyperbel mithilfe der folgenden Formel.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Schritt 9.2

Ersetze die Werte von $b$ und $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ in der Formel.

$\frac{4^{2}}{4 \sqrt{5}}$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4^{2}$ und $4$ .

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Schritt 9.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{5}}$

Schritt 9.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{5}$ heraus.

$\frac{4 \cdot 4}{4 (\sqrt{5})}$

Schritt 9.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{5}}$

Schritt 9.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{\sqrt{5}}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 9.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 9.3.3.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Schritt 9.3.3.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Schritt 9.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 9.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 9.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{4 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Schritt 9.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 10

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , da diese Hyperbel nach oben und unten offen ist.

$y = \pm 2 \cdot x + 0$

Schritt 11

Addiere $2 \cdot x$ und $0$ .

$y = 2 x$

Schritt 12

Addiere $- 2 \cdot x$ und $0$ .

$y = - 2 x$

Schritt 13

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = 2 x, y = - 2 x$

Schritt 14

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Hyperbel dar.

Mittelpunkt: $(0, 0)$

Scheitelpunkte: $(0, 8), (0, - 8)$

Brennpunkte: $(0, 4 \sqrt{5}), (0, - 4 \sqrt{5})$

Exzentrizität: $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Fokaler Parameter: $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

Asymptoten: $y = 2 x$ , $y = - 2 x$

Schritt 15