Elementarmathematik Beispiele

$72 x^{2} + y^{2} + 24 y = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

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Schritt 1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} + 24 y$ an.

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Schritt 1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 24$

$c = 0$

Schritt 1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{24}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $2$ .

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Schritt 1.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $24$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 (1)}$

Schritt 1.1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{12}{1}$

Schritt 1.1.3.2.2.4

Dividiere $12$ durch $1$ .

$d = 12$

Schritt 1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{24^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Potenziere $24$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{576}{4}$

Schritt 1.1.4.2.1.3

Dividiere $576$ durch $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 144$

Schritt 1.1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $144$ .

$e = 0 - 144$

Schritt 1.1.4.2.2

Subtrahiere $144$ von $0$ .

$e = - 144$

Schritt 1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y + 12)}^{2} - 144$ ein.

${(y + 12)}^{2} - 144$

Schritt 1.2

Setze ${(y + 12)}^{2} - 144$ für $y^{2} + 24 y$ ein in der Gleichung $72 x^{2} + y^{2} + 24 y = 0$ .

$72 x^{2} + {(y + 12)}^{2} - 144 = 0$

Schritt 1.3

Bringe $- 144$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $144$ auf beiden Seiten.

$72 x^{2} + {(y + 12)}^{2} = 0 + 144$

Schritt 1.4

Addiere $0$ und $144$ .

$72 x^{2} + {(y + 12)}^{2} = 144$

Schritt 1.5

Teile jeden Term durch $144$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{72 x^{2}}{144} + \frac{{(y + 12)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Schritt 1.6

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{{(y + 12)}^{2}}{144} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 12$

$b = \sqrt{2}$

$k = - 12$

$h = 0$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(0, - 12)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(12)}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$\sqrt{144 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{144 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{144 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{144 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{144 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{144 - 2^{1}}$

Schritt 5.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{144 - 1 \cdot 2}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{144 - 2}$

Schritt 5.3.3.2

Subtrahiere $2$ von $144$ .

$\sqrt{142}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $a$ zu $k$ ermittelt werden.

$(h, k + a)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, - 12 + 12)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$(0, 0)$

Schritt 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Schritt 6.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, - 12 - (12))$

Schritt 6.6

Vereinfache.

$(0, - 24)$

Schritt 6.7

Ellipsen haben zwei Scheitelpunkte.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 24)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 24)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, - 12 + \sqrt{142})$

Schritt 7.3

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $k$ gefunden werden.

$(h, k - c)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, - 12 - (\sqrt{142}))$

Schritt 7.5

Vereinfache.

$(0, - 12 - \sqrt{142})$

Schritt 7.6

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(0, - 12 + \sqrt{142})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 12 - \sqrt{142})$

${Focus}_{1}$ : $(0, - 12 + \sqrt{142})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 12 - \sqrt{142})$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(12)}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}}{12}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{144 - {\sqrt{2}}^{2}}}{12}$

Schritt 8.3.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 8.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{144 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{12}$

Schritt 8.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{144 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{12}$

Schritt 8.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{144 - 2^{\frac{2}{2}}}}{12}$

Schritt 8.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{144 - 2^{\frac{2}{2}}}}{12}$

Schritt 8.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{144 - 2^{1}}}{12}$

Schritt 8.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{144 - 1 \cdot 2}}{12}$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{144 - 2}}{12}$

Schritt 8.3.4

Subtrahiere $2$ von $144$ .

$\frac{\sqrt{142}}{12}$

Schritt 9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Ellipse dar.

Mittelpunkt: $(0, - 12)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 24)$

${Focus}_{1}$ : $(0, - 12 + \sqrt{142})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 12 - \sqrt{142})$

Exzentrizität: $\frac{\sqrt{142}}{12}$

Schritt 10