Elementarmathematik Beispiele

Stelle graphisch dar 9x^2-16y^2-36x-64y-172=0
Schritt 1
Bestimme die Standardform der Hyperbel.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2
Wende die quadratische Ergänzung auf an.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.1
Wende die Form an, um die Werte für , und zu ermitteln.
Schritt 1.2.2
Betrachte die Scheitelform einer Parabel.
Schritt 1.2.3
Ermittle den Wert von mithilfe der Formel .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.3.1
Setze die Werte von und in die Formel ein.
Schritt 1.2.3.2
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.3.2.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.3.2.1.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.3.2.1.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.3.2.1.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.3.2.1.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.2.3.2.2
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.3.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.3.2.2.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.3.2.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.3.2.2.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.3.2.2.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.2.3.2.2.2.4
Dividiere durch .
Schritt 1.2.4
Ermittle den Wert von mithilfe der Formel .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.1
Setze die Werte von , , und in die Formel ein.
Schritt 1.2.4.2
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 1.2.4.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.4.2.1.3
Dividiere durch .
Schritt 1.2.4.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.4.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.2.5
Setze die Werte von , und in die Scheitelform ein.
Schritt 1.3
Setze für ein in der Gleichung .
Schritt 1.4
Bringe auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von auf beiden Seiten.
Schritt 1.5
Wende die quadratische Ergänzung auf an.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.1
Wende die Form an, um die Werte für , und zu ermitteln.
Schritt 1.5.2
Betrachte die Scheitelform einer Parabel.
Schritt 1.5.3
Ermittle den Wert von mithilfe der Formel .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.3.1
Setze die Werte von und in die Formel ein.
Schritt 1.5.3.2
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.3.2.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.5.3.2.1.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.3.2.1.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.5.3.2.1.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.5.3.2.1.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.5.3.2.2
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.3.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.5.3.2.2.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.3.2.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.5.3.2.2.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.5.3.2.2.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.5.3.2.2.2.4
Dividiere durch .
Schritt 1.5.4
Ermittle den Wert von mithilfe der Formel .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.4.1
Setze die Werte von , , und in die Formel ein.
Schritt 1.5.4.2
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.4.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.4.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 1.5.4.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.4.2.1.3
Dividiere durch .
Schritt 1.5.4.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.4.2.2
Addiere und .
Schritt 1.5.5
Setze die Werte von , und in die Scheitelform ein.
Schritt 1.6
Setze für ein in der Gleichung .
Schritt 1.7
Bringe auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von auf beiden Seiten.
Schritt 1.8
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.8.1
Addiere und .
Schritt 1.8.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.9
Teile jeden Term durch , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.
Schritt 1.10
Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich ist.
Schritt 2
Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.
Schritt 3
Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable stellt das x-Offset vom Ursprung dar, das y-Offset vom Ursprung, .
Schritt 4
Der Mittelpunkt einer Hyperbel folgt der Form von . Setze die Werte von und ein.
Schritt 5
Berechne , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.
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Schritt 5.1
Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.
Schritt 5.2
Ersetze die Werte von und in der Formel.
Schritt 5.3
Vereinfache.
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Schritt 5.3.1
Potenziere mit .
Schritt 5.3.2
Potenziere mit .
Schritt 5.3.3
Addiere und .
Schritt 5.3.4
Schreibe als um.
Schritt 5.3.5
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 6
Finde die Scheitelpunkte.
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Schritt 6.1
Der erste Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von zu ermittelt werden.
Schritt 6.2
Setze die bekannten Werte von , und in die Formel ein und vereinfache.
Schritt 6.3
Der zweite Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von von ermittelt werden.
Schritt 6.4
Setze die bekannten Werte von , und in die Formel ein und vereinfache.
Schritt 6.5
Die Scheitelpunkte einer Hyperbel folgen der Form . Hyperbeln haben zwei Scheitelpunkte.
Schritt 7
Ermittle die Brennpunkte.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.1
Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von zu gefunden werden.
Schritt 7.2
Setze die bekannten Werte von , und in die Formel ein und vereinfache.
Schritt 7.3
Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von von ermittelt werden.
Schritt 7.4
Setze die bekannten Werte von , und in die Formel ein und vereinfache.
Schritt 7.5
Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.
Schritt 8
Ermittle die Exzentrizität.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.1
Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.
Schritt 8.2
Setze die Werte von und in die Formel ein.
Schritt 8.3
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.3.1
Potenziere mit .
Schritt 8.3.2
Potenziere mit .
Schritt 8.3.3
Addiere und .
Schritt 8.3.4
Schreibe als um.
Schritt 8.3.5
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 9
Bestimme den fokalen Parameter.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.1
Ermittle den Wert für den fokalen Parameter der Hyperbel mithilfe der folgenden Formel.
Schritt 9.2
Ersetze die Werte von und in der Formel.
Schritt 9.3
Potenziere mit .
Schritt 10
Die Asymptoten folgen der Form , da diese Hyperbel sich nach links und rechts öffnet.
Schritt 11
Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.1
Entferne die Klammern.
Schritt 11.2
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.1.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 11.2.1.3
Kombiniere und .
Schritt 11.2.1.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.1.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 11.2.1.4.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 11.2.1.4.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 11.2.1.4.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 11.2.1.5
Kombiniere und .
Schritt 11.2.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.1.7
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 11.2.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 11.2.3
Kombiniere und .
Schritt 11.2.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 11.2.5
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.5.2
Subtrahiere von .
Schritt 11.2.6
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 12
Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 12.1
Entferne die Klammern.
Schritt 12.2
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 12.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 12.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 12.2.1.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 12.2.1.3
Kombiniere und .
Schritt 12.2.1.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 12.2.1.4.1
Bringe das führende Minuszeichen in in den Zähler.
Schritt 12.2.1.4.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 12.2.1.4.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 12.2.1.4.4
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 12.2.1.4.5
Forme den Ausdruck um.
Schritt 12.2.1.5
Kombiniere und .
Schritt 12.2.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 12.2.1.7
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 12.2.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 12.2.3
Kombiniere und .
Schritt 12.2.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 12.2.5
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 12.2.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 12.2.5.2
Subtrahiere von .
Schritt 12.2.6
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 13
Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.
Schritt 14
Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Hyperbel dar.
Mittelpunkt:
Scheitelpunkte:
Brennpunkte:
Exzentrizität:
Fokaler Parameter:
Asymptoten: ,
Schritt 15