Elementarmathematik Beispiele

$4 x^{2} - 3 x - 7$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $4 x^{2} - 3 x - 7$ an.

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Schritt 1.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 4$

$b = - 3$

$c = - 7$

Schritt 1.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$d = \frac{- 3}{8}$

Schritt 1.1.1.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{3}{8}$

Schritt 1.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 7 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.4.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$e = - 7 - \frac{9}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$e = - 7 - \frac{9}{16}$

Schritt 1.1.1.4.2.2

Um $- 7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$e = - 7 \cdot \frac{16}{16} - \frac{9}{16}$

Schritt 1.1.1.4.2.3

Kombiniere $- 7$ und $\frac{16}{16}$ .

$e = \frac{- 7 \cdot 16}{16} - \frac{9}{16}$

Schritt 1.1.1.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 7 \cdot 16 - 9}{16}$

Schritt 1.1.1.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.4.2.5.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $16$ .

$e = \frac{- 112 - 9}{16}$

Schritt 1.1.1.4.2.5.2

Subtrahiere $9$ von $- 112$ .

$e = \frac{- 121}{16}$

Schritt 1.1.1.4.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{121}{16}$

Schritt 1.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $4 {(x - \frac{3}{8})}^{2} - \frac{121}{16}$ ein.

$4 {(x - \frac{3}{8})}^{2} - \frac{121}{16}$

Schritt 1.1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = 4 {(x - \frac{3}{8})}^{2} - \frac{121}{16}$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 4$

$h = \frac{3}{8}$

$k = - \frac{121}{16}$

Schritt 1.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(\frac{3}{8}, - \frac{121}{16})$

Schritt 1.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{1}{16}$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{3}{8}, - \frac{15}{2})$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = \frac{3}{8}$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - \frac{61}{8}$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(\frac{3}{8}, - \frac{121}{16})$

Brennpunkt: $(\frac{3}{8}, - \frac{15}{2})$

Symmetrieachse: $x = \frac{3}{8}$

Leitlinie: $y = - \frac{61}{8}$

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(\frac{3}{8}, - \frac{121}{16})$

Brennpunkt: $(\frac{3}{8}, - \frac{15}{2})$

Symmetrieachse: $x = \frac{3}{8}$

Leitlinie: $y = - \frac{61}{8}$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = 4 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 - 7$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = 4 \cdot 1 - 3 \cdot - 1 - 7$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f (- 1) = 4 - 3 \cdot - 1 - 7$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = 4 + 3 - 7$

Schritt 2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.2.1

Addiere $4$ und $3$ .

$f (- 1) = 7 - 7$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $7$ von $7$ .

$f (- 1) = 0$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 2.3

Der $y$ -Wert bei $x = - 1$ ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = 4 {(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2 - 7$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2) = 4 \cdot 4 - 3 \cdot - 2 - 7$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f (- 2) = 16 - 3 \cdot - 2 - 7$

Schritt 2.5.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = 16 + 6 - 7$

Schritt 2.5.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $16$ und $6$ .

$f (- 2) = 22 - 7$

Schritt 2.5.2.2

Subtrahiere $7$ von $22$ .

$f (- 2) = 15$

Schritt 2.5.3

Die endgültige Lösung ist $15$ .

$15$

Schritt 2.6

Der $y$ -Wert bei $x = - 2$ ist $15$ .

$y = 15$

Schritt 2.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = 4 {(1)}^{2} - 3 \cdot 1 - 7$

Schritt 2.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 4 \cdot 1 - 3 \cdot 1 - 7$

Schritt 2.8.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f (1) = 4 - 3 \cdot 1 - 7$

Schritt 2.8.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f (1) = 4 - 3 - 7$

Schritt 2.8.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 2.8.2.1

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$f (1) = 1 - 7$

Schritt 2.8.2.2

Subtrahiere $7$ von $1$ .

$f (1) = - 6$

Schritt 2.8.3

Die endgültige Lösung ist $- 6$ .

$- 6$

Schritt 2.9

Der $y$ -Wert bei $x = 1$ ist $- 6$ .

$y = - 6$

Schritt 2.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = 4 {(2)}^{2} - 3 \cdot 2 - 7$

Schritt 2.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = 4 \cdot 4 - 3 \cdot 2 - 7$

Schritt 2.11.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f (2) = 16 - 3 \cdot 2 - 7$

Schritt 2.11.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$f (2) = 16 - 6 - 7$

Schritt 2.11.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 2.11.2.1

Subtrahiere $6$ von $16$ .

$f (2) = 10 - 7$

Schritt 2.11.2.2

Subtrahiere $7$ von $10$ .

$f (2) = 3$

Schritt 2.11.3

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$3$

Schritt 2.12

Der $y$ -Wert bei $x = 2$ ist $3$ .

$y = 3$

Schritt 2.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 15 \\ - 1 & 0 \\ \frac{3}{8} & - \frac{121}{16} \\ 1 & - 6 \\ 2 & 3 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(\frac{3}{8}, - \frac{121}{16})$

Brennpunkt: $(\frac{3}{8}, - \frac{15}{2})$

Symmetrieachse: $x = \frac{3}{8}$

Leitlinie: $y = - \frac{61}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 15 \\ - 1 & 0 \\ \frac{3}{8} & - \frac{121}{16} \\ 1 & - 6 \\ 2 & 3 \end{array}$

Schritt 4