Elementarmathematik Beispiele

$4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 24 y + 51 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $51$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 24 y = - 51$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $4 x^{2} + 8 x$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 4$

$b = 8$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{4}{4}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{4}{4}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = 1$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $64$ durch $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 0 - 4$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$e = - 4$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ ein.

$4 {(x + 1)}^{2} - 4$

Schritt 1.3

Setze $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ für $4 x^{2} + 8 x$ ein in der Gleichung $4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 24 y = - 51$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4 + 3 y^{2} - 24 y = - 51$

Schritt 1.4

Bringe $- 4$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $4$ auf beiden Seiten.

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 y^{2} - 24 y = - 51 + 4$

Schritt 1.5

Wende die quadratische Ergänzung auf $3 y^{2} - 24 y$ an.

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Schritt 1.5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 3$

$b = - 24$

$c = 0$

Schritt 1.5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 24}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 24$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 24$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 3$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (3)}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 12}{3}$

Schritt 1.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $3$ .

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Schritt 1.5.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 12$ heraus.

$d = \frac{3 \cdot - 4}{3}$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$d = \frac{3 \cdot - 4}{3 (1)}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 4}{1}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.4

Dividiere $- 4$ durch $1$ .

$d = - 4$

Schritt 1.5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Potenziere $- 24$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 3}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$e = 0 - \frac{576}{12}$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Dividiere $576$ durch $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 48$

Schritt 1.5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $48$ .

$e = 0 - 48$

Schritt 1.5.4.2.2

Subtrahiere $48$ von $0$ .

$e = - 48$

Schritt 1.5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $3 {(y - 4)}^{2} - 48$ ein.

$3 {(y - 4)}^{2} - 48$

Schritt 1.6

Setze $3 {(y - 4)}^{2} - 48$ für $3 y^{2} - 24 y$ ein in der Gleichung $4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 24 y = - 51$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} - 48 = - 51 + 4$

Schritt 1.7

Bringe $- 48$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $48$ auf beiden Seiten.

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} = - 51 + 4 + 48$

Schritt 1.8

Vereinfache $- 51 + 4 + 48$ .

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Schritt 1.8.1

Addiere $- 51$ und $4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} = - 47 + 48$

Schritt 1.8.2

Addiere $- 47$ und $48$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} = 1$

Schritt 1.9

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{1}{4}} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{\frac{1}{3}} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$b = \frac{1}{2}$

$k = 4$

$h = - 1$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(- 1, 4)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{3}$ an.

$\sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 5.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{3^{1}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{3}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{3}{9} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\sqrt{\frac{3 (1)}{9} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1}{3} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 5.3.5.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1}{2^{2}}}$

Schritt 5.3.5.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1}{4}}$

Schritt 5.3.6

Um $\frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Schritt 5.3.7

Um $- \frac{1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 5.3.8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 5.3.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 5.3.8.3

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3}}$

Schritt 5.3.8.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{3}{12}}$

Schritt 5.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{4 - 3}{12}}$

Schritt 5.3.10

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\sqrt{\frac{1}{12}}$

Schritt 5.3.11

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{12}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{12}}$ um.

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{12}}$

Schritt 5.3.12

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{12}}$

Schritt 5.3.13

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.13.1

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.3.13.1.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{4 (3)}}$

Schritt 5.3.13.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{1}{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}$

Schritt 5.3.13.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{1}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 5.3.14

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.3.15

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.15.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 5.3.15.2

Bewege $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Schritt 5.3.15.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Schritt 5.3.15.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Schritt 5.3.15.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.3.15.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 5.3.15.7

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 5.3.15.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.3.15.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.3.15.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.15.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.15.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.15.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}}$

Schritt 5.3.15.7.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.3.16

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{3}}{6}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $a$ zu $k$ ermittelt werden.

$(h, k + a)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Schritt 6.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(- 1, 4 - (\frac{\sqrt{3}}{3}))$

Schritt 6.5

Vereinfache.

$(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 6.6

Ellipsen haben zwei Scheitelpunkte.

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{3})$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{6})$

Schritt 7.3

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $k$ gefunden werden.

$(h, k - c)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(- 1, 4 - (\frac{\sqrt{3}}{6}))$

Schritt 7.5

Vereinfache.

$(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{6})$

Schritt 7.6

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{6})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{6})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{6})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{6})$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{3}$ an.

$\sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 8.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{3^{1}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.3.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{3}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{3}{9} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 8.3.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\sqrt{\frac{3 (1)}{9} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1}{3} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.3.6.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1^{2}}{2^{2}}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.6.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1}{2^{2}}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.6.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1}{4}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.7

Um $\frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.8

Um $- \frac{1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.3.9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.9.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.9.3

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.9.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{3}{12}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{4 - 3}{12}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.11

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\sqrt{\frac{1}{12}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.12

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{12}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{12}}$ um.

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{12}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.13

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{12}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.14

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.14.1

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 8.3.14.1.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{4 (3)}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.14.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{1}{\sqrt{2^{2} \cdot 3}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.14.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.15

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.16

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.16.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.16.2

Bewege $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.16.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.16.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.16.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.16.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.16.7

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 8.3.16.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.16.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.16.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.16.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.16.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.16.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.16.7.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.17

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{3}$ .

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Schritt 8.3.17.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.17.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot 3$

Schritt 8.3.18

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3$

Schritt 8.3.19

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $3$ .

$\frac{3}{6}$

Schritt 8.3.20

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

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Schritt 8.3.20.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (1)}{6}$

Schritt 8.3.20.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.20.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Schritt 8.3.20.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Schritt 8.3.20.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2}$

Schritt 9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Ellipse dar.

Mittelpunkt: $(- 1, 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{3})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{6})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{6})$

Exzentrizität: $\frac{1}{2}$

Schritt 10