Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} - 2 x + 16 y^{2} + 96 y + 1 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 x + 16 y^{2} + 96 y = - 1$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} - 2 x$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{1}$

Schritt 1.2.3.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$d = - 1$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e = 0 - 1$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$e = - 1$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - 1)}^{2} - 1$ ein.

${(x - 1)}^{2} - 1$

Schritt 1.3

Setze ${(x - 1)}^{2} - 1$ für $x^{2} - 2 x$ ein in der Gleichung $x^{2} - 2 x + 16 y^{2} + 96 y = - 1$ .

${(x - 1)}^{2} - 1 + 16 y^{2} + 96 y = - 1$

Schritt 1.4

Bringe $- 1$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $1$ auf beiden Seiten.

${(x - 1)}^{2} + 16 y^{2} + 96 y = - 1 + 1$

Schritt 1.5

Wende die quadratische Ergänzung auf $16 y^{2} + 96 y$ an.

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Schritt 1.5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 16$

$b = 96$

$c = 0$

Schritt 1.5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{96}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $96$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $96$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 48}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 16$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 48}{2 (16)}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 48}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{48}{16}$

Schritt 1.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $48$ und $16$ .

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Schritt 1.5.3.2.2.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$d = \frac{16 \cdot 3}{16}$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.2.2.2.1

Faktorisiere $16$ aus $16$ heraus.

$d = \frac{16 \cdot 3}{16 (1)}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{16 \cdot 3}{16 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{3}{1}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$d = 3$

Schritt 1.5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{96^{2}}{4 \cdot 16}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Potenziere $96$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{9216}{4 \cdot 16}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$e = 0 - \frac{9216}{64}$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Dividiere $9216$ durch $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 144$

Schritt 1.5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $144$ .

$e = 0 - 144$

Schritt 1.5.4.2.2

Subtrahiere $144$ von $0$ .

$e = - 144$

Schritt 1.5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $16 {(y + 3)}^{2} - 144$ ein.

$16 {(y + 3)}^{2} - 144$

Schritt 1.6

Setze $16 {(y + 3)}^{2} - 144$ für $16 y^{2} + 96 y$ ein in der Gleichung $x^{2} - 2 x + 16 y^{2} + 96 y = - 1$ .

${(x - 1)}^{2} + 16 {(y + 3)}^{2} - 144 = - 1 + 1$

Schritt 1.7

Bringe $- 144$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $144$ auf beiden Seiten.

${(x - 1)}^{2} + 16 {(y + 3)}^{2} = - 1 + 1 + 144$

Schritt 1.8

Vereinfache $- 1 + 1 + 144$ .

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Schritt 1.8.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

${(x - 1)}^{2} + 16 {(y + 3)}^{2} = 0 + 144$

Schritt 1.8.2

Addiere $0$ und $144$ .

${(x - 1)}^{2} + 16 {(y + 3)}^{2} = 144$

Schritt 1.9

Teile jeden Term durch $144$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{144} + \frac{16 {(y + 3)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Schritt 1.10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{144} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 12$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 1$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(1, - 3)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(12)}^{2} - {(3)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$\sqrt{144 - {(3)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{144 - 1 \cdot 9}$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\sqrt{144 - 9}$

Schritt 5.3.4

Subtrahiere $9$ von $144$ .

$\sqrt{135}$

Schritt 5.3.5

Schreibe $135$ als $3^{2} \cdot 15$ um.

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Schritt 5.3.5.1

Faktorisiere $9$ aus $135$ heraus.

$\sqrt{9 (15)}$

Schritt 5.3.5.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\sqrt{3^{2} \cdot 15}$

Schritt 5.3.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$3 \sqrt{15}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $a$ zu $h$ ermittelt werden.

$(h + a, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(1 + 12, - 3)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$(13, - 3)$

Schritt 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Schritt 6.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(1 - (12), - 3)$

Schritt 6.6

Vereinfache.

$(- 11, - 3)$

Schritt 6.7

Ellipsen haben zwei Scheitelpunkte.

${Vertex}_{1}$ : $(13, - 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 11, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(13, - 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 11, - 3)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $h$ gefunden werden.

$(h + c, k)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(1 + 3 \sqrt{15}, - 3)$

Schritt 7.3

Der zweite Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - c, k)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(1 - (3 \sqrt{15}), - 3)$

Schritt 7.5

Vereinfache.

$(1 - 3 \sqrt{15}, - 3)$

Schritt 7.6

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(1 + 3 \sqrt{15}, - 3)$

${Focus}_{2}$ : $(1 - 3 \sqrt{15}, - 3)$

${Focus}_{1}$ : $(1 + 3 \sqrt{15}, - 3)$

${Focus}_{2}$ : $(1 - 3 \sqrt{15}, - 3)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(12)}^{2} - {(3)}^{2}}}{12}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{144 - 3^{2}}}{12}$

Schritt 8.3.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{144 - 1 \cdot 9}}{12}$

Schritt 8.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{\sqrt{144 - 9}}{12}$

Schritt 8.3.1.4

Subtrahiere $9$ von $144$ .

$\frac{\sqrt{135}}{12}$

Schritt 8.3.1.5

Schreibe $135$ als $3^{2} \cdot 15$ um.

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Schritt 8.3.1.5.1

Faktorisiere $9$ aus $135$ heraus.

$\frac{\sqrt{9 (15)}}{12}$

Schritt 8.3.1.5.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 15}}{12}$

Schritt 8.3.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 \sqrt{15}}{12}$

Schritt 8.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $12$ .

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{15}$ heraus.

$\frac{3 (\sqrt{15})}{12}$

Schritt 8.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{3 \sqrt{15}}{3 \cdot 4}$

Schritt 8.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sqrt{15}}{3 \cdot 4}$

Schritt 8.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{15}}{4}$

Schritt 9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Ellipse dar.

Mittelpunkt: $(1, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(13, - 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 11, - 3)$

${Focus}_{1}$ : $(1 + 3 \sqrt{15}, - 3)$

${Focus}_{2}$ : $(1 - 3 \sqrt{15}, - 3)$

Exzentrizität: $\frac{\sqrt{15}}{4}$

Schritt 10