Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + 6 x + 12 y + 9 = 0$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x + 12 y + 9 = - x^{2}$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $6 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 y + 9 = - x^{2} - 6 x$

Schritt 1.1.3

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 y = - x^{2} - 6 x - 9$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $12 y = - x^{2} - 6 x - 9$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $12 y = - x^{2} - 6 x - 9$ durch $12$ .

$\frac{12 y}{12} = \frac{- x^{2}}{12} + \frac{- 6 x}{12} + \frac{- 9}{12}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 y}{12} = \frac{- x^{2}}{12} + \frac{- 6 x}{12} + \frac{- 9}{12}$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{12} + \frac{- 6 x}{12} + \frac{- 9}{12}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 6 x}{12} + \frac{- 9}{12}$

Schritt 1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $12$ .

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Schritt 1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $- 6 x$ heraus.

$y = - \frac{x^{2}}{12} + \frac{6 (- x)}{12} + \frac{- 9}{12}$

Schritt 1.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$y = - \frac{x^{2}}{12} + \frac{6 (- x)}{6 (2)} + \frac{- 9}{12}$

Schritt 1.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x^{2}}{12} + \frac{6 (- x)}{6 \cdot 2} + \frac{- 9}{12}$

Schritt 1.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x^{2}}{12} + \frac{- x}{2} + \frac{- 9}{12}$

Schritt 1.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{2} + \frac{- 9}{12}$

Schritt 1.2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 9$ und $12$ .

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Schritt 1.2.3.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$y = - \frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{2} + \frac{3 (- 3)}{12}$

Schritt 1.2.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.1.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$y = - \frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{2} + \frac{3 \cdot - 3}{3 \cdot 4}$

Schritt 1.2.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{2} + \frac{3 \cdot - 3}{3 \cdot 4}$

Schritt 1.2.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{2} + \frac{- 3}{4}$

Schritt 1.2.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{2} - \frac{3}{4}$

Schritt 2

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{2} - \frac{3}{4}$ an.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{12}$

$b = - \frac{1}{2}$

$c = - \frac{3}{4}$

Schritt 2.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- \frac{1}{2}}{2 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 2.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$d = \frac{\frac{1}{2}}{2 (\frac{1}{12})}$

Schritt 2.1.1.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

Schritt 2.1.1.3.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{12}$ .

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{12}}$

Schritt 2.1.1.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $12$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{12}}$

Schritt 2.1.1.3.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.3.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Schritt 2.1.1.3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Schritt 2.1.1.3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{6}}$

Schritt 2.1.1.3.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{1}{2} (1 \cdot 6)$

Schritt 2.1.1.3.2.6

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$d = \frac{1}{2} \cdot 6$

Schritt 2.1.1.3.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$d = \frac{1}{2} \cdot (2 (3))$

Schritt 2.1.1.3.2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 3)$

Schritt 2.1.1.3.2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$d = 3$

Schritt 2.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - \frac{3}{4} - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 2.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$e = - \frac{3}{4} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = - \frac{3}{4} - \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$e = - \frac{3}{4} - \frac{1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = - \frac{3}{4} - \frac{1 \frac{1}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = - \frac{3}{4} - \frac{1 (\frac{1}{4})}{4 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$e = - \frac{3}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = - \frac{3}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{- 4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{12}$ .

$e = - \frac{3}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{- 4}{12}}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $12$ .

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Schritt 2.1.1.4.2.1.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$e = - \frac{3}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4 (- 1)}{12}}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$e = - \frac{3}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - \frac{3}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = - \frac{3}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{- 1}{3}}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{3}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{- \frac{1}{3}}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = - \frac{3}{4} - (\frac{1}{4} (- 1 \cdot 3))$

Schritt 2.1.1.4.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$e = - \frac{3}{4} - (\frac{1}{4} \cdot - 3)$

Schritt 2.1.1.4.2.1.6

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 3$ .

$e = - \frac{3}{4} - \frac{- 3}{4}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{3}{4} - - \frac{3}{4}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.8

Multipliziere $- - \frac{3}{4}$ .

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Schritt 2.1.1.4.2.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = - \frac{3}{4} + 1 (\frac{3}{4})$

Schritt 2.1.1.4.2.1.8.2

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $1$ .

$e = - \frac{3}{4} + \frac{3}{4}$

Schritt 2.1.1.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 3 + 3}{4}$

Schritt 2.1.1.4.2.3

Addiere $- 3$ und $3$ .

$e = \frac{0}{4}$

Schritt 2.1.1.4.2.4

Dividiere $0$ durch $4$ .

$e = 0$

Schritt 2.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{12} {(x + 3)}^{2} + 0$ ein.

$- \frac{1}{12} {(x + 3)}^{2} + 0$

Schritt 2.1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - \frac{1}{12} \cdot {(x + 3)}^{2} + 0$

Schritt 2.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{12}$

$h = - 3$

$k = 0$

Schritt 2.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 2.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 3, 0)$

Schritt 2.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 2.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 2.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{12})}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 2.5.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{12})}$

Schritt 2.5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 2.5.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{12}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{12}}$

Schritt 2.5.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $12$ .

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Schritt 2.5.3.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{12}}$

Schritt 2.5.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.3.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 2.5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 2.5.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.5.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (1 \cdot 3)$

Schritt 2.5.3.5

Multipliziere $- (1 \cdot 3)$ .

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Schritt 2.5.3.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- 1 \cdot 3$

Schritt 2.5.3.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3$

Schritt 2.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 2.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 2.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 3, - 3)$

Schritt 2.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = - 3$

Schritt 2.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 2.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 2.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = 3$

Schritt 2.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(- 3, 0)$

Brennpunkt: $(- 3, - 3)$

Symmetrieachse: $x = - 3$

Leitlinie: $y = 3$

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(- 3, 0)$

Brennpunkt: $(- 3, - 3)$

Symmetrieachse: $x = - 3$

Leitlinie: $y = 3$

Schritt 3

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f (- 4) = - \frac{{(- 4)}^{2}}{12} - \frac{- 4}{2} - \frac{3}{4}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $\frac{- 4}{2}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$f (- 4) = - \frac{{(- 4)}^{2}}{12} - (\frac{- 4}{2} \cdot \frac{6}{6}) - \frac{3}{4}$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{- 4}{2}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$f (- 4) = - \frac{{(- 4)}^{2}}{12} - \frac{- 4 \cdot 6}{2 \cdot 6} - \frac{3}{4}$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = - \frac{{(- 4)}^{2}}{12} - \frac{- 4 \cdot 6}{2 \cdot 6} - (\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 3.2.1.4

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = - \frac{{(- 4)}^{2}}{12} - \frac{- 4 \cdot 6}{2 \cdot 6} - \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Schritt 3.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f (- 4) = - \frac{{(- 4)}^{2}}{12} - \frac{- 4 \cdot 6}{12} - \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Schritt 3.2.1.6

Stelle die Faktoren von $4 \cdot 3$ um.

$f (- 4) = - \frac{{(- 4)}^{2}}{12} - \frac{- 4 \cdot 6}{12} - \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4}$

Schritt 3.2.1.7

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f (- 4) = - \frac{{(- 4)}^{2}}{12} - \frac{- 4 \cdot 6}{12} - \frac{3 \cdot 3}{12}$

Schritt 3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 4) = \frac{- {(- 4)}^{2} + 4 \cdot 6 - 3 \cdot 3}{12}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f (- 4) = \frac{- 1 \cdot 16 + 4 \cdot 6 - 3 \cdot 3}{12}$

Schritt 3.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$f (- 4) = \frac{- 16 + 4 \cdot 6 - 3 \cdot 3}{12}$

Schritt 3.2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$f (- 4) = \frac{- 16 + 24 - 3 \cdot 3}{12}$

Schritt 3.2.3.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$f (- 4) = \frac{- 16 + 24 - 9}{12}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.4.1

Addiere $- 16$ und $24$ .

$f (- 4) = \frac{8 - 9}{12}$

Schritt 3.2.4.2

Subtrahiere $9$ von $8$ .

$f (- 4) = \frac{- 1}{12}$

Schritt 3.2.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 4) = - \frac{1}{12}$

Schritt 3.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{12}$ .

$- \frac{1}{12}$

Schritt 3.3

Der $y$ -Wert bei $x = - 4$ ist $- \frac{1}{12}$ .

$y = - \frac{1}{12}$

Schritt 3.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 5$ .

$f (- 5) = - \frac{{(- 5)}^{2}}{12} - \frac{- 5}{2} - \frac{3}{4}$

Schritt 3.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.5.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.5.1.1

Mutltipliziere $\frac{- 5}{2}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$f (- 5) = - \frac{{(- 5)}^{2}}{12} - (\frac{- 5}{2} \cdot \frac{6}{6}) - \frac{3}{4}$

Schritt 3.5.1.2

Mutltipliziere $\frac{- 5}{2}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$f (- 5) = - \frac{{(- 5)}^{2}}{12} - \frac{- 5 \cdot 6}{2 \cdot 6} - \frac{3}{4}$

Schritt 3.5.1.3

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 5) = - \frac{{(- 5)}^{2}}{12} - \frac{- 5 \cdot 6}{2 \cdot 6} - (\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 3.5.1.4

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 5) = - \frac{{(- 5)}^{2}}{12} - \frac{- 5 \cdot 6}{2 \cdot 6} - \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Schritt 3.5.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f (- 5) = - \frac{{(- 5)}^{2}}{12} - \frac{- 5 \cdot 6}{12} - \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Schritt 3.5.1.6

Stelle die Faktoren von $4 \cdot 3$ um.

$f (- 5) = - \frac{{(- 5)}^{2}}{12} - \frac{- 5 \cdot 6}{12} - \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4}$

Schritt 3.5.1.7

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f (- 5) = - \frac{{(- 5)}^{2}}{12} - \frac{- 5 \cdot 6}{12} - \frac{3 \cdot 3}{12}$

Schritt 3.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 5) = \frac{- {(- 5)}^{2} + 5 \cdot 6 - 3 \cdot 3}{12}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.3.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$f (- 5) = \frac{- 1 \cdot 25 + 5 \cdot 6 - 3 \cdot 3}{12}$

Schritt 3.5.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$f (- 5) = \frac{- 25 + 5 \cdot 6 - 3 \cdot 3}{12}$

Schritt 3.5.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $6$ .

$f (- 5) = \frac{- 25 + 30 - 3 \cdot 3}{12}$

Schritt 3.5.3.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$f (- 5) = \frac{- 25 + 30 - 9}{12}$

Schritt 3.5.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.1

Addiere $- 25$ und $30$ .

$f (- 5) = \frac{5 - 9}{12}$

Schritt 3.5.4.2

Subtrahiere $9$ von $5$ .

$f (- 5) = \frac{- 4}{12}$

Schritt 3.5.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f (- 5) = \frac{4 (- 1)}{12}$

Schritt 3.5.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$f (- 5) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}$

Schritt 3.5.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 5) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}$

Schritt 3.5.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 5) = \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.5.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 5) = - \frac{1}{3}$

Schritt 3.5.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Schritt 3.6

Der $y$ -Wert bei $x = - 5$ ist $- \frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{1}{3}$

Schritt 3.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{12} - \frac{- 2}{2} - \frac{3}{4}$

Schritt 3.8

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.1.1

Mutltipliziere $\frac{- 2}{2}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{12} - (\frac{- 2}{2} \cdot \frac{6}{6}) - \frac{3}{4}$

Schritt 3.8.1.2

Mutltipliziere $\frac{- 2}{2}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{12} - \frac{- 2 \cdot 6}{2 \cdot 6} - \frac{3}{4}$

Schritt 3.8.1.3

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{12} - \frac{- 2 \cdot 6}{2 \cdot 6} - (\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 3.8.1.4

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{12} - \frac{- 2 \cdot 6}{2 \cdot 6} - \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Schritt 3.8.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{12} - \frac{- 2 \cdot 6}{12} - \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Schritt 3.8.1.6

Stelle die Faktoren von $4 \cdot 3$ um.

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{12} - \frac{- 2 \cdot 6}{12} - \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4}$

Schritt 3.8.1.7

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{12} - \frac{- 2 \cdot 6}{12} - \frac{3 \cdot 3}{12}$

Schritt 3.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 2) = \frac{- {(- 2)}^{2} + 2 \cdot 6 - 3 \cdot 3}{12}$

Schritt 3.8.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.8.3.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 2 \cdot 6 - 3 \cdot 3}{12}$

Schritt 3.8.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 4 + 2 \cdot 6 - 3 \cdot 3}{12}$

Schritt 3.8.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f (- 2) = \frac{- 4 + 12 - 3 \cdot 3}{12}$

Schritt 3.8.3.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 4 + 12 - 9}{12}$

Schritt 3.8.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.4.1

Addiere $- 4$ und $12$ .

$f (- 2) = \frac{8 - 9}{12}$

Schritt 3.8.4.2

Subtrahiere $9$ von $8$ .

$f (- 2) = \frac{- 1}{12}$

Schritt 3.8.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 2) = - \frac{1}{12}$

Schritt 3.8.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{12}$ .

$- \frac{1}{12}$

Schritt 3.9

Der $y$ -Wert bei $x = - 2$ ist $- \frac{1}{12}$ .

$y = - \frac{1}{12}$

Schritt 3.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{12} - \frac{- 1}{2} - \frac{3}{4}$

Schritt 3.11

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.1.1

Mutltipliziere $\frac{- 1}{2}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{12} - (\frac{- 1}{2} \cdot \frac{6}{6}) - \frac{3}{4}$

Schritt 3.11.1.2

Mutltipliziere $\frac{- 1}{2}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{12} - \frac{- 1 \cdot 6}{2 \cdot 6} - \frac{3}{4}$

Schritt 3.11.1.3

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{12} - \frac{- 1 \cdot 6}{2 \cdot 6} - (\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 3.11.1.4

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{12} - \frac{- 1 \cdot 6}{2 \cdot 6} - \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Schritt 3.11.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{12} - \frac{- 1 \cdot 6}{12} - \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Schritt 3.11.1.6

Stelle die Faktoren von $4 \cdot 3$ um.

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{12} - \frac{- 1 \cdot 6}{12} - \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4}$

Schritt 3.11.1.7

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{12} - \frac{- 1 \cdot 6}{12} - \frac{3 \cdot 3}{12}$

Schritt 3.11.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 1) = \frac{- {(- 1)}^{2} + 1 \cdot 6 - 3 \cdot 3}{12}$

Schritt 3.11.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.11.3.1

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.11.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.3.1.1.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- 1) = \frac{(- 1) {(- 1)}^{2} + 1 \cdot 6 - 3 \cdot 3}{12}$

Schritt 3.11.3.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{1 + 2} + 1 \cdot 6 - 3 \cdot 3}{12}$

Schritt 3.11.3.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{3} + 1 \cdot 6 - 3 \cdot 3}{12}$

Schritt 3.11.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 1 \cdot 6 - 3 \cdot 3}{12}$

Schritt 3.11.3.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 6 - 3 \cdot 3}{12}$

Schritt 3.11.3.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 6 - 9}{12}$

Schritt 3.11.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.4.1

Addiere $- 1$ und $6$ .

$f (- 1) = \frac{5 - 9}{12}$

Schritt 3.11.4.2

Subtrahiere $9$ von $5$ .

$f (- 1) = \frac{- 4}{12}$

Schritt 3.11.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.4.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f (- 1) = \frac{4 (- 1)}{12}$

Schritt 3.11.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.4.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$f (- 1) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}$

Schritt 3.11.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 1) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}$

Schritt 3.11.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 1) = \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.11.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 1) = - \frac{1}{3}$

Schritt 3.11.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Schritt 3.12

Der $y$ -Wert bei $x = - 1$ ist $- \frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{1}{3}$

Schritt 3.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - \frac{1}{3} \\ - 4 & - \frac{1}{12} \\ - 3 & 0 \\ - 2 & - \frac{1}{12} \\ - 1 & - \frac{1}{3} \end{array}$

Schritt 4

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(- 3, 0)$

Brennpunkt: $(- 3, - 3)$

Symmetrieachse: $x = - 3$

Leitlinie: $y = 3$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - \frac{1}{3} \\ - 4 & - \frac{1}{12} \\ - 3 & 0 \\ - 2 & - \frac{1}{12} \\ - 1 & - \frac{1}{3} \end{array}$

Schritt 5