Elementarmathematik Beispiele

$y^{2} - 10 y + 4 x + 25 = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 10 y + 4 x + 25 = - y^{2}$

Schritt 1.2

Addiere $10 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x + 25 = - y^{2} + 10 y$

Schritt 1.3

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - y^{2} + 10 y - 25$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - y^{2} + 10 y - 25$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - y^{2} + 10 y - 25$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{10 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{10 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{10 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{10 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $4$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10 y$ heraus.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{2 (5 y)}{4} + \frac{- 25}{4}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{2 (5 y)}{2 (2)} + \frac{- 25}{4}$

Schritt 2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{2 (5 y)}{2 \cdot 2} + \frac{- 25}{4}$

Schritt 2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} + \frac{- 25}{4}$

Schritt 2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} - \frac{25}{4}$

Schritt 3

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 3.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} - \frac{25}{4}$ an.

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Schritt 3.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{4}$

$b = \frac{5}{2}$

$c = - \frac{25}{4}$

Schritt 3.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 3.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{5}{2}}{2 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 3.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.1.3.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 3.1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 3.1.1.3.2.2.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$d = \frac{5}{2} \cdot \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 3.1.1.3.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{2 (\frac{1}{4})})$

Schritt 3.1.1.3.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{2}{4}})$

Schritt 3.1.1.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 3.1.1.3.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}})$

Schritt 3.1.1.3.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.1.3.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}})$

Schritt 3.1.1.3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}})$

Schritt 3.1.1.3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{1}{2}})$

Schritt 3.1.1.3.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{5}{2} (- (1 \cdot 2))$

Schritt 3.1.1.3.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.1.3.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- (1 \cdot 2)$ heraus.

$d = \frac{5}{2} (2 (- 1 \cdot (1)))$

Schritt 3.1.1.3.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{5}{2} (2 (- 1 \cdot (1)))$

Schritt 3.1.1.3.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$d = 5 (- 1 \cdot (1))$

Schritt 3.1.1.3.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$d = 5 \cdot - 1$

Schritt 3.1.1.3.2.8

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$d = - 5$

Schritt 3.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - \frac{25}{4} - \frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 3.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{5^{2}}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{4}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.1.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{4}}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{4}$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{4}}{\frac{- 4}{4}}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.3

Dividiere $- 4$ durch $4$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{4}}{- 1}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{25}{4}}{- 1}$ .

$e = - \frac{25}{4} - (- 1 \cdot \frac{25}{4})$

Schritt 3.1.1.4.2.1.5

Schreibe $- 1 \cdot \frac{25}{4}$ als $- \frac{25}{4}$ um.

$e = - \frac{25}{4} - - \frac{25}{4}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.6

Multipliziere $- - \frac{25}{4}$ .

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Schritt 3.1.1.4.2.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = - \frac{25}{4} + 1 (\frac{25}{4})$

Schritt 3.1.1.4.2.1.6.2

Mutltipliziere $\frac{25}{4}$ mit $1$ .

$e = - \frac{25}{4} + \frac{25}{4}$

Schritt 3.1.1.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 25 + 25}{4}$

Schritt 3.1.1.4.2.3

Addiere $- 25$ und $25$ .

$e = \frac{0}{4}$

Schritt 3.1.1.4.2.4

Dividiere $0$ durch $4$ .

$e = 0$

Schritt 3.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{4} {(y - 5)}^{2} + 0$ ein.

$- \frac{1}{4} {(y - 5)}^{2} + 0$

Schritt 3.1.2

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = - \frac{1}{4} \cdot {(y - 5)}^{2} + 0$

Schritt 3.2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 0$

$k = 5$

Schritt 3.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach links offen.

Nach links offen

Schritt 3.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(0, 5)$

Schritt 3.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 3.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 3.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 3.5.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Schritt 3.5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 3.5.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Schritt 3.5.3.3

Dividiere $4$ durch $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Schritt 3.5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 3.5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{1}$

Schritt 3.5.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 1$

Schritt 3.5.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 3.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 3.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 3.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 1, 5)$

Schritt 3.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = 5$

Schritt 3.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 3.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 3.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = 1$

Schritt 3.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(0, 5)$

Brennpunkt: $(- 1, 5)$

Symmetrieachse: $y = 5$

Leitlinie: $x = 1$

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(0, 5)$

Brennpunkt: $(- 1, 5)$

Symmetrieachse: $y = 5$

Leitlinie: $x = 1$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $- 2$ in $f (x) = 5 + 2 \sqrt{- 1 x}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 2, 7.82842712)$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = 5 + 2 \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = 5 + 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $5 + 2 \sqrt{2}$ .

$y = 5 + 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.1.3

Konvertiere $5 + 2 \sqrt{2}$ nach Dezimal.

$= 7.82842712$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $- 2$ in $f (x) = 5 - 2 \sqrt{- 1 x}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 2, 2.17157287)$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = 5 - 2 \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = 5 - 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.2.2.2

Die endgültige Lösung ist $5 - 2 \sqrt{2}$ .

$y = 5 - 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.2.3

Konvertiere $5 - 2 \sqrt{2}$ nach Dezimal.

$= 2.17157287$

Schritt 4.3

Setze den $x$ -Wert $- 1$ in $f (x) = 5 + 2 \sqrt{- 1 x}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 1, 7)$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = 5 + 2 \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = 5 + 2 \sqrt{1}$

Schritt 4.3.2.1.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (- 1) = 5 + 2 \cdot 1$

Schritt 4.3.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (- 1) = 5 + 2$

Schritt 4.3.2.2

Addiere $5$ und $2$ .

$f (- 1) = 7$

Schritt 4.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $7$ .

$y = 7$

Schritt 4.3.3

Konvertiere $7$ nach Dezimal.

$= 7$

Schritt 4.4

Setze den $x$ -Wert $- 1$ in $f (x) = 5 - 2 \sqrt{- 1 x}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 1, 3)$ .

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Schritt 4.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = 5 - 2 \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = 5 - 2 \sqrt{1}$

Schritt 4.4.2.1.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (- 1) = 5 - 2 \cdot 1$

Schritt 4.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (- 1) = 5 - 2$

Schritt 4.4.2.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$f (- 1) = 3$

Schritt 4.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$y = 3$

Schritt 4.4.3

Konvertiere $3$ nach Dezimal.

$= 3$

Schritt 4.5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 7.83 \\ - 2 & 2.17 \\ - 1 & 7 \\ - 1 & 3 \\ 0 & 5 \end{array}$

Schritt 5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(0, 5)$

Brennpunkt: $(- 1, 5)$

Symmetrieachse: $y = 5$

Leitlinie: $x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 7.83 \\ - 2 & 2.17 \\ - 1 & 7 \\ - 1 & 3 \\ 0 & 5 \end{array}$

Schritt 6