Elementarmathematik Beispiele

$25 x^{2} + 16 y^{2} = 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{25}} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{16}} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = \frac{1}{4}$

$b = \frac{1}{5}$

$k = 0$

$h = 0$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(0, 0)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} - {(\frac{1}{5})}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$\sqrt{\frac{1^{2}}{4^{2}} - {(\frac{1}{5})}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{\frac{1}{4^{2}} - {(\frac{1}{5})}^{2}}$

Schritt 5.3.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} - {(\frac{1}{5})}^{2}}$

Schritt 5.3.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{5}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{16} - \frac{1^{2}}{5^{2}}}$

Schritt 5.3.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{\frac{1}{16} - \frac{1}{5^{2}}}$

Schritt 5.3.6

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} - \frac{1}{25}}$

Schritt 5.3.7

Um $\frac{1}{16}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} \cdot \frac{25}{25} - \frac{1}{25}}$

Schritt 5.3.8

Um $- \frac{1}{25}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} \cdot \frac{25}{25} - \frac{1}{25} \cdot \frac{16}{16}}$

Schritt 5.3.9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $400$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{16}$ mit $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{25}{16 \cdot 25} - \frac{1}{25} \cdot \frac{16}{16}}$

Schritt 5.3.9.2

Mutltipliziere $16$ mit $25$ .

$\sqrt{\frac{25}{400} - \frac{1}{25} \cdot \frac{16}{16}}$

Schritt 5.3.9.3

Mutltipliziere $\frac{1}{25}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{25}{400} - \frac{16}{25 \cdot 16}}$

Schritt 5.3.9.4

Mutltipliziere $25$ mit $16$ .

$\sqrt{\frac{25}{400} - \frac{16}{400}}$

Schritt 5.3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{25 - 16}{400}}$

Schritt 5.3.11

Subtrahiere $16$ von $25$ .

$\sqrt{\frac{9}{400}}$

Schritt 5.3.12

Schreibe $\sqrt{\frac{9}{400}}$ als $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{400}}$ um.

$\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{400}}$

Schritt 5.3.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.13.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{400}}$

Schritt 5.3.13.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3}{\sqrt{400}}$

Schritt 5.3.14

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.14.1

Schreibe $400$ als $20^{2}$ um.

$\frac{3}{\sqrt{20^{2}}}$

Schritt 5.3.14.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3}{20}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $a$ zu $k$ ermittelt werden.

$(h, k + a)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 0 + \frac{1}{4})$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$(0, \frac{1}{4})$

Schritt 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Schritt 6.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 0 - (\frac{1}{4}))$

Schritt 6.6

Vereinfache.

$(0, - \frac{1}{4})$

Schritt 6.7

Ellipsen haben zwei Scheitelpunkte.

${Vertex}_{1}$ : $(0, \frac{1}{4})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \frac{1}{4})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, \frac{1}{4})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \frac{1}{4})$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 0 + \frac{3}{20})$

Schritt 7.3

Vereinfache.

$(0, \frac{3}{20})$

Schritt 7.4

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $k$ gefunden werden.

$(h, k - c)$

Schritt 7.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 0 - (\frac{3}{20}))$

Schritt 7.6

Vereinfache.

$(0, - \frac{3}{20})$

Schritt 7.7

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{3}{20})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{3}{20})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{3}{20})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{3}{20})$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} - {(\frac{1}{5})}^{2}}}{\frac{1}{4}}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} - {(\frac{1}{5})}^{2}} \cdot 4$

Schritt 8.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$\sqrt{\frac{1^{2}}{4^{2}} - {(\frac{1}{5})}^{2}} \cdot 4$

Schritt 8.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{\frac{1}{4^{2}} - {(\frac{1}{5})}^{2}} \cdot 4$

Schritt 8.3.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} - {(\frac{1}{5})}^{2}} \cdot 4$

Schritt 8.3.5

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{5}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{16} - \frac{1^{2}}{5^{2}}} \cdot 4$

Schritt 8.3.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{\frac{1}{16} - \frac{1}{5^{2}}} \cdot 4$

Schritt 8.3.7

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} - \frac{1}{25}} \cdot 4$

Schritt 8.3.8

Um $\frac{1}{16}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} \cdot \frac{25}{25} - \frac{1}{25}} \cdot 4$

Schritt 8.3.9

Um $- \frac{1}{25}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} \cdot \frac{25}{25} - \frac{1}{25} \cdot \frac{16}{16}} \cdot 4$

Schritt 8.3.10

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $400$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.3.10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{16}$ mit $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{25}{16 \cdot 25} - \frac{1}{25} \cdot \frac{16}{16}} \cdot 4$

Schritt 8.3.10.2

Mutltipliziere $16$ mit $25$ .

$\sqrt{\frac{25}{400} - \frac{1}{25} \cdot \frac{16}{16}} \cdot 4$

Schritt 8.3.10.3

Mutltipliziere $\frac{1}{25}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{25}{400} - \frac{16}{25 \cdot 16}} \cdot 4$

Schritt 8.3.10.4

Mutltipliziere $25$ mit $16$ .

$\sqrt{\frac{25}{400} - \frac{16}{400}} \cdot 4$

Schritt 8.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{25 - 16}{400}} \cdot 4$

Schritt 8.3.12

Subtrahiere $16$ von $25$ .

$\sqrt{\frac{9}{400}} \cdot 4$

Schritt 8.3.13

Schreibe $\sqrt{\frac{9}{400}}$ als $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{400}}$ um.

$\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{400}} \cdot 4$

Schritt 8.3.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.14.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{400}} \cdot 4$

Schritt 8.3.14.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3}{\sqrt{400}} \cdot 4$

Schritt 8.3.15

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.15.1

Schreibe $400$ als $20^{2}$ um.

$\frac{3}{\sqrt{20^{2}}} \cdot 4$

Schritt 8.3.15.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3}{20} \cdot 4$

Schritt 8.3.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 8.3.16.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\frac{3}{4 (5)} \cdot 4$

Schritt 8.3.16.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{4 \cdot 5} \cdot 4$

Schritt 8.3.16.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{5}$

Schritt 9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Ellipse dar.

Mittelpunkt: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, \frac{1}{4})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \frac{1}{4})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{3}{20})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{3}{20})$

Exzentrizität: $\frac{3}{5}$

Schritt 10