Elementarmathematik Beispiele

${(x + 2 y)}^{10}$

Schritt 1

Das Pascalsche Dreieck kann als solches dargestellt werden:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$\dots$

$1 - 8 - 28 - 56 - 70 - 56 - 28 - 8 - 1$

$1 - 9 - 36 - 84 - 126 - 126 - 84 - 36 - 9 - 1$

$1 - 10 - 45 - 120 - 210 - 252 - 210 - 120 - 45 - 10 - 1$

Das Dreieck kann dazu genutzt werden, die Koeffizienten für das Ausmultiplizieren von ${(a + b)}^{n}$ zu berechnen durch Addition von $1$ zum Exponenten $n$ . Die Koeffizienten finden sich in der Zeile $n + 1$ des Dreiecks. Für ${(x + 2 y)}^{10}$ gilt $n = 10$ , folglich finden sich die Koeffizienten des ausmultiplizierten Binoms in Zeile $11$ .

Schritt 2

Das Ausmultiplizieren folgt der Regel ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Die Werte der Koeffizienten gemäß dem Dreieck sind $1 - 10 - 45 - 120 - 210 - 252 - 210 - 120 - 45 - 10 - 1$ .

$1 a^{10} b^{0} + 10 a^{9} b + 45 a^{8} b^{2} + 120 a^{7} b^{3} + 210 a^{6} b^{4} + 252 a^{5} b^{5} + 210 a^{4} b^{6} + 120 a^{3} b^{7} + 45 a^{2} b^{8} + 10 a b^{9} + 1 a^{0} b^{10}$

Schritt 3

Setze die tatsächlichen Werte von $a$ $x$ und $b$ $2 y$ in den Ausdruck ein.

$1 {(x)}^{10} {(2 y)}^{0} + 10 {(x)}^{9} {(2 y)}^{1} + 45 {(x)}^{8} {(2 y)}^{2} + 120 {(x)}^{7} {(2 y)}^{3} + 210 {(x)}^{6} {(2 y)}^{4} + 252 {(x)}^{5} {(2 y)}^{5} + 210 {(x)}^{4} {(2 y)}^{6} + 120 {(x)}^{3} {(2 y)}^{7} + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(x)}^{10}$ mit $1$ .

${(x)}^{10} {(2 y)}^{0} + 10 {(x)}^{9} {(2 y)}^{1} + 45 {(x)}^{8} {(2 y)}^{2} + 120 {(x)}^{7} {(2 y)}^{3} + 210 {(x)}^{6} {(2 y)}^{4} + 252 {(x)}^{5} {(2 y)}^{5} + 210 {(x)}^{4} {(2 y)}^{6} + 120 {(x)}^{3} {(2 y)}^{7} + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$x^{10} (2^{0} y^{0}) + 10 {(x)}^{9} {(2 y)}^{1} + 45 {(x)}^{8} {(2 y)}^{2} + 120 {(x)}^{7} {(2 y)}^{3} + 210 {(x)}^{6} {(2 y)}^{4} + 252 {(x)}^{5} {(2 y)}^{5} + 210 {(x)}^{4} {(2 y)}^{6} + 120 {(x)}^{3} {(2 y)}^{7} + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2^{0} x^{10} y^{0} + 10 {(x)}^{9} {(2 y)}^{1} + 45 {(x)}^{8} {(2 y)}^{2} + 120 {(x)}^{7} {(2 y)}^{3} + 210 {(x)}^{6} {(2 y)}^{4} + 252 {(x)}^{5} {(2 y)}^{5} + 210 {(x)}^{4} {(2 y)}^{6} + 120 {(x)}^{3} {(2 y)}^{7} + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 x^{10} y^{0} + 10 {(x)}^{9} {(2 y)}^{1} + 45 {(x)}^{8} {(2 y)}^{2} + 120 {(x)}^{7} {(2 y)}^{3} + 210 {(x)}^{6} {(2 y)}^{4} + 252 {(x)}^{5} {(2 y)}^{5} + 210 {(x)}^{4} {(2 y)}^{6} + 120 {(x)}^{3} {(2 y)}^{7} + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $x^{10}$ mit $1$ .

$x^{10} y^{0} + 10 {(x)}^{9} {(2 y)}^{1} + 45 {(x)}^{8} {(2 y)}^{2} + 120 {(x)}^{7} {(2 y)}^{3} + 210 {(x)}^{6} {(2 y)}^{4} + 252 {(x)}^{5} {(2 y)}^{5} + 210 {(x)}^{4} {(2 y)}^{6} + 120 {(x)}^{3} {(2 y)}^{7} + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{10} \cdot 1 + 10 {(x)}^{9} {(2 y)}^{1} + 45 {(x)}^{8} {(2 y)}^{2} + 120 {(x)}^{7} {(2 y)}^{3} + 210 {(x)}^{6} {(2 y)}^{4} + 252 {(x)}^{5} {(2 y)}^{5} + 210 {(x)}^{4} {(2 y)}^{6} + 120 {(x)}^{3} {(2 y)}^{7} + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $x^{10}$ mit $1$ .

$x^{10} + 10 {(x)}^{9} {(2 y)}^{1} + 45 {(x)}^{8} {(2 y)}^{2} + 120 {(x)}^{7} {(2 y)}^{3} + 210 {(x)}^{6} {(2 y)}^{4} + 252 {(x)}^{5} {(2 y)}^{5} + 210 {(x)}^{4} {(2 y)}^{6} + 120 {(x)}^{3} {(2 y)}^{7} + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.8

Vereinfache.

$x^{10} + 10 x^{9} (2 y) + 45 {(x)}^{8} {(2 y)}^{2} + 120 {(x)}^{7} {(2 y)}^{3} + 210 {(x)}^{6} {(2 y)}^{4} + 252 {(x)}^{5} {(2 y)}^{5} + 210 {(x)}^{4} {(2 y)}^{6} + 120 {(x)}^{3} {(2 y)}^{7} + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{10} + 10 \cdot 2 x^{9} y + 45 {(x)}^{8} {(2 y)}^{2} + 120 {(x)}^{7} {(2 y)}^{3} + 210 {(x)}^{6} {(2 y)}^{4} + 252 {(x)}^{5} {(2 y)}^{5} + 210 {(x)}^{4} {(2 y)}^{6} + 120 {(x)}^{3} {(2 y)}^{7} + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$x^{10} + 20 x^{9} y + 45 {(x)}^{8} {(2 y)}^{2} + 120 {(x)}^{7} {(2 y)}^{3} + 210 {(x)}^{6} {(2 y)}^{4} + 252 {(x)}^{5} {(2 y)}^{5} + 210 {(x)}^{4} {(2 y)}^{6} + 120 {(x)}^{3} {(2 y)}^{7} + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.11

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$x^{10} + 20 x^{9} y + 45 x^{8} (2^{2} y^{2}) + 120 {(x)}^{7} {(2 y)}^{3} + 210 {(x)}^{6} {(2 y)}^{4} + 252 {(x)}^{5} {(2 y)}^{5} + 210 {(x)}^{4} {(2 y)}^{6} + 120 {(x)}^{3} {(2 y)}^{7} + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.12

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{10} + 20 x^{9} y + 45 \cdot 2^{2} x^{8} y^{2} + 120 {(x)}^{7} {(2 y)}^{3} + 210 {(x)}^{6} {(2 y)}^{4} + 252 {(x)}^{5} {(2 y)}^{5} + 210 {(x)}^{4} {(2 y)}^{6} + 120 {(x)}^{3} {(2 y)}^{7} + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.13

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{10} + 20 x^{9} y + 45 \cdot 4 x^{8} y^{2} + 120 {(x)}^{7} {(2 y)}^{3} + 210 {(x)}^{6} {(2 y)}^{4} + 252 {(x)}^{5} {(2 y)}^{5} + 210 {(x)}^{4} {(2 y)}^{6} + 120 {(x)}^{3} {(2 y)}^{7} + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.14

Mutltipliziere $45$ mit $4$ .

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 120 {(x)}^{7} {(2 y)}^{3} + 210 {(x)}^{6} {(2 y)}^{4} + 252 {(x)}^{5} {(2 y)}^{5} + 210 {(x)}^{4} {(2 y)}^{6} + 120 {(x)}^{3} {(2 y)}^{7} + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.15

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 120 x^{7} (2^{3} y^{3}) + 210 {(x)}^{6} {(2 y)}^{4} + 252 {(x)}^{5} {(2 y)}^{5} + 210 {(x)}^{4} {(2 y)}^{6} + 120 {(x)}^{3} {(2 y)}^{7} + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.16

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 120 \cdot 2^{3} x^{7} y^{3} + 210 {(x)}^{6} {(2 y)}^{4} + 252 {(x)}^{5} {(2 y)}^{5} + 210 {(x)}^{4} {(2 y)}^{6} + 120 {(x)}^{3} {(2 y)}^{7} + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.17

Potenziere $2$ mit $3$ .

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 120 \cdot 8 x^{7} y^{3} + 210 {(x)}^{6} {(2 y)}^{4} + 252 {(x)}^{5} {(2 y)}^{5} + 210 {(x)}^{4} {(2 y)}^{6} + 120 {(x)}^{3} {(2 y)}^{7} + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.18

Mutltipliziere $120$ mit $8$ .

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 960 x^{7} y^{3} + 210 {(x)}^{6} {(2 y)}^{4} + 252 {(x)}^{5} {(2 y)}^{5} + 210 {(x)}^{4} {(2 y)}^{6} + 120 {(x)}^{3} {(2 y)}^{7} + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.19

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 960 x^{7} y^{3} + 210 x^{6} (2^{4} y^{4}) + 252 {(x)}^{5} {(2 y)}^{5} + 210 {(x)}^{4} {(2 y)}^{6} + 120 {(x)}^{3} {(2 y)}^{7} + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.20

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 960 x^{7} y^{3} + 210 \cdot 2^{4} x^{6} y^{4} + 252 {(x)}^{5} {(2 y)}^{5} + 210 {(x)}^{4} {(2 y)}^{6} + 120 {(x)}^{3} {(2 y)}^{7} + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.21

Potenziere $2$ mit $4$ .

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 960 x^{7} y^{3} + 210 \cdot 16 x^{6} y^{4} + 252 {(x)}^{5} {(2 y)}^{5} + 210 {(x)}^{4} {(2 y)}^{6} + 120 {(x)}^{3} {(2 y)}^{7} + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.22

Mutltipliziere $210$ mit $16$ .

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 960 x^{7} y^{3} + 3360 x^{6} y^{4} + 252 {(x)}^{5} {(2 y)}^{5} + 210 {(x)}^{4} {(2 y)}^{6} + 120 {(x)}^{3} {(2 y)}^{7} + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.23

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 960 x^{7} y^{3} + 3360 x^{6} y^{4} + 252 x^{5} (2^{5} y^{5}) + 210 {(x)}^{4} {(2 y)}^{6} + 120 {(x)}^{3} {(2 y)}^{7} + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.24

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 960 x^{7} y^{3} + 3360 x^{6} y^{4} + 252 \cdot 2^{5} x^{5} y^{5} + 210 {(x)}^{4} {(2 y)}^{6} + 120 {(x)}^{3} {(2 y)}^{7} + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.25

Potenziere $2$ mit $5$ .

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 960 x^{7} y^{3} + 3360 x^{6} y^{4} + 252 \cdot 32 x^{5} y^{5} + 210 {(x)}^{4} {(2 y)}^{6} + 120 {(x)}^{3} {(2 y)}^{7} + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.26

Mutltipliziere $252$ mit $32$ .

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 960 x^{7} y^{3} + 3360 x^{6} y^{4} + 8064 x^{5} y^{5} + 210 {(x)}^{4} {(2 y)}^{6} + 120 {(x)}^{3} {(2 y)}^{7} + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.27

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 960 x^{7} y^{3} + 3360 x^{6} y^{4} + 8064 x^{5} y^{5} + 210 x^{4} (2^{6} y^{6}) + 120 {(x)}^{3} {(2 y)}^{7} + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.28

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 960 x^{7} y^{3} + 3360 x^{6} y^{4} + 8064 x^{5} y^{5} + 210 \cdot 2^{6} x^{4} y^{6} + 120 {(x)}^{3} {(2 y)}^{7} + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.29

Potenziere $2$ mit $6$ .

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 960 x^{7} y^{3} + 3360 x^{6} y^{4} + 8064 x^{5} y^{5} + 210 \cdot 64 x^{4} y^{6} + 120 {(x)}^{3} {(2 y)}^{7} + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.30

Mutltipliziere $210$ mit $64$ .

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 960 x^{7} y^{3} + 3360 x^{6} y^{4} + 8064 x^{5} y^{5} + 13440 x^{4} y^{6} + 120 {(x)}^{3} {(2 y)}^{7} + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.31

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 960 x^{7} y^{3} + 3360 x^{6} y^{4} + 8064 x^{5} y^{5} + 13440 x^{4} y^{6} + 120 x^{3} (2^{7} y^{7}) + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.32

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 960 x^{7} y^{3} + 3360 x^{6} y^{4} + 8064 x^{5} y^{5} + 13440 x^{4} y^{6} + 120 \cdot 2^{7} x^{3} y^{7} + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.33

Potenziere $2$ mit $7$ .

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 960 x^{7} y^{3} + 3360 x^{6} y^{4} + 8064 x^{5} y^{5} + 13440 x^{4} y^{6} + 120 \cdot 128 x^{3} y^{7} + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.34

Mutltipliziere $120$ mit $128$ .

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 960 x^{7} y^{3} + 3360 x^{6} y^{4} + 8064 x^{5} y^{5} + 13440 x^{4} y^{6} + 15360 x^{3} y^{7} + 45 {(x)}^{2} {(2 y)}^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.35

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 960 x^{7} y^{3} + 3360 x^{6} y^{4} + 8064 x^{5} y^{5} + 13440 x^{4} y^{6} + 15360 x^{3} y^{7} + 45 x^{2} (2^{8} y^{8}) + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.36

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 960 x^{7} y^{3} + 3360 x^{6} y^{4} + 8064 x^{5} y^{5} + 13440 x^{4} y^{6} + 15360 x^{3} y^{7} + 45 \cdot 2^{8} x^{2} y^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.37

Potenziere $2$ mit $8$ .

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 960 x^{7} y^{3} + 3360 x^{6} y^{4} + 8064 x^{5} y^{5} + 13440 x^{4} y^{6} + 15360 x^{3} y^{7} + 45 \cdot 256 x^{2} y^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.38

Mutltipliziere $45$ mit $256$ .

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 960 x^{7} y^{3} + 3360 x^{6} y^{4} + 8064 x^{5} y^{5} + 13440 x^{4} y^{6} + 15360 x^{3} y^{7} + 11520 x^{2} y^{8} + 10 {(x)}^{1} {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.39

Vereinfache.

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 960 x^{7} y^{3} + 3360 x^{6} y^{4} + 8064 x^{5} y^{5} + 13440 x^{4} y^{6} + 15360 x^{3} y^{7} + 11520 x^{2} y^{8} + 10 x {(2 y)}^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.40

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 960 x^{7} y^{3} + 3360 x^{6} y^{4} + 8064 x^{5} y^{5} + 13440 x^{4} y^{6} + 15360 x^{3} y^{7} + 11520 x^{2} y^{8} + 10 x (2^{9} y^{9}) + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.41

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 960 x^{7} y^{3} + 3360 x^{6} y^{4} + 8064 x^{5} y^{5} + 13440 x^{4} y^{6} + 15360 x^{3} y^{7} + 11520 x^{2} y^{8} + 10 \cdot 2^{9} x y^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.42

Potenziere $2$ mit $9$ .

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 960 x^{7} y^{3} + 3360 x^{6} y^{4} + 8064 x^{5} y^{5} + 13440 x^{4} y^{6} + 15360 x^{3} y^{7} + 11520 x^{2} y^{8} + 10 \cdot 512 x y^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.43

Mutltipliziere $10$ mit $512$ .

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 960 x^{7} y^{3} + 3360 x^{6} y^{4} + 8064 x^{5} y^{5} + 13440 x^{4} y^{6} + 15360 x^{3} y^{7} + 11520 x^{2} y^{8} + 5120 x y^{9} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.44

Mutltipliziere ${(x)}^{0}$ mit $1$ .

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 960 x^{7} y^{3} + 3360 x^{6} y^{4} + 8064 x^{5} y^{5} + 13440 x^{4} y^{6} + 15360 x^{3} y^{7} + 11520 x^{2} y^{8} + 5120 x y^{9} + {(x)}^{0} {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.45

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 960 x^{7} y^{3} + 3360 x^{6} y^{4} + 8064 x^{5} y^{5} + 13440 x^{4} y^{6} + 15360 x^{3} y^{7} + 11520 x^{2} y^{8} + 5120 x y^{9} + 1 {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.46

Mutltipliziere ${(2 y)}^{10}$ mit $1$ .

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 960 x^{7} y^{3} + 3360 x^{6} y^{4} + 8064 x^{5} y^{5} + 13440 x^{4} y^{6} + 15360 x^{3} y^{7} + 11520 x^{2} y^{8} + 5120 x y^{9} + {(2 y)}^{10}$

Schritt 4.47

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 960 x^{7} y^{3} + 3360 x^{6} y^{4} + 8064 x^{5} y^{5} + 13440 x^{4} y^{6} + 15360 x^{3} y^{7} + 11520 x^{2} y^{8} + 5120 x y^{9} + 2^{10} y^{10}$

Schritt 4.48

Potenziere $2$ mit $10$ .

$x^{10} + 20 x^{9} y + 180 x^{8} y^{2} + 960 x^{7} y^{3} + 3360 x^{6} y^{4} + 8064 x^{5} y^{5} + 13440 x^{4} y^{6} + 15360 x^{3} y^{7} + 11520 x^{2} y^{8} + 5120 x y^{9} + 1024 y^{10}$