Elementarmathematik Beispiele

$\sin (θ) < 0$ , $\tan (θ) < 0$

Schritt 1

Löse $\sin (θ) < 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 1.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$θ < \arcsin (0)$

Schritt 1.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$θ < 0$

Schritt 1.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$θ = π - 0$

Schritt 1.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$θ = π$

Schritt 1.5

Ermittele die Periode von $\sin (θ)$ .

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Schritt 1.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 1.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 1.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 1.6

Die Periode der Funktion $\sin (θ)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 1.7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$θ = π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 1.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$0 < θ < π$

$π < θ < 2 π$

Schritt 1.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 1.9.1

Teste einen Wert im Intervall $0 < θ < π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < θ < π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$θ = 2$

Schritt 1.9.1.2

Ersetze $θ$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (2) < 0$

Schritt 1.9.1.3

Die linke Seite $0.90929742$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 1.9.2

Teste einen Wert im Intervall $π < θ < 2 π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $π < θ < 2 π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$θ = 5$

Schritt 1.9.2.2

Ersetze $θ$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (5) < 0$

Schritt 1.9.2.3

Die linke Seite $- 0.95892427$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 1.9.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$0 < θ < π$ Falsch

$π < θ < 2 π$ Wahr

$0 < θ < π$ Falsch

$π < θ < 2 π$ Wahr

Schritt 1.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$π + 2 π n < θ < 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2

Löse $\tan (θ) < 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 2.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$θ < \arctan (0)$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$θ < 0$

Schritt 2.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$θ = π + 0$

Schritt 2.4

Addiere $π$ und $0$ .

$θ = π$

Schritt 2.5

Ermittele die Periode von $\tan (θ)$ .

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Schritt 2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 2.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 2.6

Die Periode der Funktion $\tan (θ)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = π n, π + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$θ = π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.8

Bestimme den Definitionsbereich von $\tan (θ)$ .

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Schritt 2.8.1

Setze das Argument in $\tan (θ)$ gleich $\frac{π}{2} + π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$θ = \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.8.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $θ$ , für die der Ausdruck definiert ist.

${θ | θ \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$0 < θ < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < θ < π$

Schritt 2.10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.10.1

Teste einen Wert im Intervall $0 < θ < \frac{π}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < θ < \frac{π}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$θ = 1$

Schritt 2.10.1.2

Ersetze $θ$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\tan (1) < 0$

Schritt 2.10.1.3

Die linke Seite $1.55740772$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.10.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{π}{2} < θ < π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{π}{2} < θ < π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$θ = 2$

Schritt 2.10.2.2

Ersetze $θ$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\tan (2) < 0$

Schritt 2.10.2.3

Die linke Seite $- 2.18503986$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.10.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$0 < θ < \frac{π}{2}$ Falsch

$\frac{π}{2} < θ < π$ Wahr

$0 < θ < \frac{π}{2}$ Falsch

$\frac{π}{2} < θ < π$ Wahr

Schritt 2.11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{π}{2} + π n < θ < π + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3

Bestimme die Schnittmenge von $π + 2 π n < θ < 2 π + 2 π n$ und $\frac{π}{2} + π n < θ < π + π n$ .

Keine Lösung