Elementarmathematik Beispiele

$y = x \sqrt{1 - x^{2}}$

Schritt 1

Bestimme den Definitionsbereich von $y = x \sqrt{1 - x^{2}}$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Wurzelfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(1 + x) (1 - x) \geq 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Schritt 1.2.2

Setze $1 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.1

Setze $1 + x$ gleich $0$ .

$1 + x = 0$

Schritt 1.2.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 1.2.3

Setze $1 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Setze $1 - x$ gleich $0$ .

$1 - x = 0$

Schritt 1.2.3.2

Löse $1 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 1.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 1.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(1 + x) (1 - x) \geq 0$ wahr machen.

$x = - 1, 1$

Schritt 1.2.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 1.2.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 1.2.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.2.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 1.2.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(1 - 4) (1 - (- 4)) \geq 0$

Schritt 1.2.6.1.3

Die linke Seite $- 15$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 1.2.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.2.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 1.2.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(1 + 0) (1 - (0)) \geq 0$

Schritt 1.2.6.2.3

Die linke Seite $1$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 1.2.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.2.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 1.2.6.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(1 + 4) (1 - (4)) \geq 0$

Schritt 1.2.6.3.3

Die linke Seite $- 15$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 1.2.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

Schritt 1.2.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 1 \leq x \leq 1$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 1, 1]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 1 \leq x \leq 1}$

Intervallschreibweise:

$[- 1, 1]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 1 \leq x \leq 1}$

Schritt 2

Um die Endpunkte zu finden, setze die Schranken der $x$ -Werte des Definitionsbereichs in $f (x) = x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ ein.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{(1 - 1) (1 - (- 1))}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$f (- 1) = - 1 \sqrt{(1 - 1) (1 - (- 1))}$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0 (1 - (- 1))}$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0 (1 + 1)}$

Schritt 2.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0 \cdot 2}$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0}$

Schritt 2.2.6

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.2.7

Multipliziere mit null.

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Schritt 2.2.7.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- 1) = - 1 \cdot 0$

Schritt 2.2.7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (- 1) = 0$

Schritt 2.2.8

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 2.3

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = 1 \sqrt{(1 + 1) (1 - (1))}$

Schritt 2.4

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.4.1

Entferne die Klammern.

$f (1) = 1 \sqrt{(1 + 1) (1 - (1))}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{(1 + 1) (1 - (1))}$ mit $1$ .

$f (1) = \sqrt{(1 + 1) (1 - (1))}$

Schritt 2.4.3

Addiere $1$ und $1$ .

$f (1) = \sqrt{2 (1 - (1))}$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = \sqrt{2 (1 - 1)}$

Schritt 2.4.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (1) = \sqrt{2 \cdot 0}$

Schritt 2.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f (1) = \sqrt{0}$

Schritt 2.4.7

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (1) = \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.4.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (1) = 0$

Schritt 2.4.9

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3

Die Endpunkte sind $(- 1, 0), (1, 0)$ .

$(- 1, 0), (1, 0)$

Schritt 4

Die Quadratwurzelfunktion kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(- 1, 0), (1, 0),$ graphisch dargestellt werden

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}$

Schritt 5