Elementarmathematik Beispiele

$y^{2} - 10 y + 12 x + 109 = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 10 y + 12 x + 109 = - y^{2}$

Schritt 1.2

Addiere $10 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$12 x + 109 = - y^{2} + 10 y$

Schritt 1.3

Subtrahiere $109$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 x = - y^{2} + 10 y - 109$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $12 x = - y^{2} + 10 y - 109$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $12 x = - y^{2} + 10 y - 109$ durch $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{- y^{2}}{12} + \frac{10 y}{12} + \frac{- 109}{12}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x}{12} = \frac{- y^{2}}{12} + \frac{10 y}{12} + \frac{- 109}{12}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{12} + \frac{10 y}{12} + \frac{- 109}{12}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{10 y}{12} + \frac{- 109}{12}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $12$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10 y$ heraus.

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{2 (5 y)}{12} + \frac{- 109}{12}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{2 (5 y)}{2 (6)} + \frac{- 109}{12}$

Schritt 2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{2 (5 y)}{2 \cdot 6} + \frac{- 109}{12}$

Schritt 2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{5 y}{6} + \frac{- 109}{12}$

Schritt 2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{5 y}{6} - \frac{109}{12}$

Schritt 3

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 3.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{y^{2}}{12} + \frac{5 y}{6} - \frac{109}{12}$ an.

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Schritt 3.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{12}$

$b = \frac{5}{6}$

$c = - \frac{109}{12}$

Schritt 3.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 3.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{5}{6}}{2 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 3.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.1.3.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 3.1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 3.1.1.3.2.2.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$d = \frac{5}{6} \cdot \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 3.1.1.3.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{2 (\frac{1}{12})})$

Schritt 3.1.1.3.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{12}$ .

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{2}{12}})$

Schritt 3.1.1.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $12$ .

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Schritt 3.1.1.3.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{2 (1)}{12}})$

Schritt 3.1.1.3.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.1.3.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}})$

Schritt 3.1.1.3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}})$

Schritt 3.1.1.3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{1}{6}})$

Schritt 3.1.1.3.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{5}{6} (- (1 \cdot 6))$

Schritt 3.1.1.3.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.1.1.3.2.6.1

Faktorisiere $6$ aus $- (1 \cdot 6)$ heraus.

$d = \frac{5}{6} (6 (- 1 \cdot (1)))$

Schritt 3.1.1.3.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{5}{6} (6 (- 1 \cdot (1)))$

Schritt 3.1.1.3.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$d = 5 (- 1 \cdot (1))$

Schritt 3.1.1.3.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$d = 5 \cdot - 1$

Schritt 3.1.1.3.2.8

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$d = - 5$

Schritt 3.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - \frac{109}{12} - \frac{{(\frac{5}{6})}^{2}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 3.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{6}$ an.

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{5^{2}}{6^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{6^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.1.3

Potenziere $6$ mit $2$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.1.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{- 4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{12}$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{- 4}{12}}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.1.4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $12$ .

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Schritt 3.1.1.4.2.1.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{4 (- 1)}{12}}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.1.4.2.1.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{- 1}{3}}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{- \frac{1}{3}}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = - \frac{109}{12} - (\frac{25}{36} (- 1 \cdot 3))$

Schritt 3.1.1.4.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.1.4.2.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $36$ heraus.

$e = - \frac{109}{12} - (\frac{25}{3 (12)} (- 1 \cdot 3))$

Schritt 3.1.1.4.2.1.5.2

Faktorisiere $3$ aus $- 1 \cdot 3$ heraus.

$e = - \frac{109}{12} - (\frac{25}{3 (12)} (3 \cdot - 1))$

Schritt 3.1.1.4.2.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - \frac{109}{12} - (\frac{25}{3 \cdot 12} (3 \cdot - 1))$

Schritt 3.1.1.4.2.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$e = - \frac{109}{12} - (\frac{25}{12} \cdot - 1)$

Schritt 3.1.1.4.2.1.6

Kombiniere $\frac{25}{12}$ und $- 1$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{25 \cdot - 1}{12}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.7

Mutltipliziere $25$ mit $- 1$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{- 25}{12}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{109}{12} - - \frac{25}{12}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.9

Multipliziere $- - \frac{25}{12}$ .

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Schritt 3.1.1.4.2.1.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = - \frac{109}{12} + 1 (\frac{25}{12})$

Schritt 3.1.1.4.2.1.9.2

Mutltipliziere $\frac{25}{12}$ mit $1$ .

$e = - \frac{109}{12} + \frac{25}{12}$

Schritt 3.1.1.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 109 + 25}{12}$

Schritt 3.1.1.4.2.3

Addiere $- 109$ und $25$ .

$e = \frac{- 84}{12}$

Schritt 3.1.1.4.2.4

Dividiere $- 84$ durch $12$ .

$e = - 7$

Schritt 3.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{12} {(y - 5)}^{2} - 7$ ein.

$- \frac{1}{12} {(y - 5)}^{2} - 7$

Schritt 3.1.2

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = - \frac{1}{12} \cdot {(y - 5)}^{2} - 7$

Schritt 3.2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{12}$

$h = - 7$

$k = 5$

Schritt 3.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach links offen.

Nach links offen

Schritt 3.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 7, 5)$

Schritt 3.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 3.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 3.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{12})}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 3.5.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{12})}$

Schritt 3.5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 3.5.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{12}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{12}}$

Schritt 3.5.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $12$ .

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Schritt 3.5.3.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{12}}$

Schritt 3.5.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.3.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 3.5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 3.5.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Schritt 3.5.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (1 \cdot 3)$

Schritt 3.5.3.5

Multipliziere $- (1 \cdot 3)$ .

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Schritt 3.5.3.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- 1 \cdot 3$

Schritt 3.5.3.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3$

Schritt 3.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 3.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 3.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 10, 5)$

Schritt 3.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = 5$

Schritt 3.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 3.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 3.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = - 4$

Schritt 3.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(- 7, 5)$

Brennpunkt: $(- 10, 5)$

Symmetrieachse: $y = 5$

Leitlinie: $x = - 4$

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(- 7, 5)$

Brennpunkt: $(- 10, 5)$

Symmetrieachse: $y = 5$

Leitlinie: $x = - 4$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $- 9$ in $f (x) = 5 + 2 \sqrt{3 (- x - 7)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 9, 9.89897948)$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 9$ .

$f (- 9) = 5 + 2 \sqrt{3 (- (- 9) - 7)}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$f (- 9) = 5 + 2 \sqrt{3 (9 - 7)}$

Schritt 4.1.2.1.2

Subtrahiere $7$ von $9$ .

$f (- 9) = 5 + 2 \sqrt{3 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (- 9) = 5 + 2 \sqrt{6}$

Schritt 4.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $5 + 2 \sqrt{6}$ .

$y = 5 + 2 \sqrt{6}$

Schritt 4.1.3

Konvertiere $5 + 2 \sqrt{6}$ nach Dezimal.

$= 9.89897948$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $- 9$ in $f (x) = 5 - 2 \sqrt{3 (- x - 7)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 9, 0.10102051)$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 9$ .

$f (- 9) = 5 - 2 \sqrt{3 (- (- 9) - 7)}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$f (- 9) = 5 - 2 \sqrt{3 (9 - 7)}$

Schritt 4.2.2.1.2

Subtrahiere $7$ von $9$ .

$f (- 9) = 5 - 2 \sqrt{3 \cdot 2}$

Schritt 4.2.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (- 9) = 5 - 2 \sqrt{6}$

Schritt 4.2.2.2

Die endgültige Lösung ist $5 - 2 \sqrt{6}$ .

$y = 5 - 2 \sqrt{6}$

Schritt 4.2.3

Konvertiere $5 - 2 \sqrt{6}$ nach Dezimal.

$= 0.10102051$

Schritt 4.3

Setze den $x$ -Wert $- 8$ in $f (x) = 5 + 2 \sqrt{3 (- x - 7)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 8, 8.46410161)$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 8$ .

$f (- 8) = 5 + 2 \sqrt{3 (- (- 8) - 7)}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$f (- 8) = 5 + 2 \sqrt{3 (8 - 7)}$

Schritt 4.3.2.1.2

Subtrahiere $7$ von $8$ .

$f (- 8) = 5 + 2 \sqrt{3 \cdot 1}$

Schritt 4.3.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (- 8) = 5 + 2 \sqrt{3}$

Schritt 4.3.2.2

Die endgültige Lösung ist $5 + 2 \sqrt{3}$ .

$y = 5 + 2 \sqrt{3}$

Schritt 4.3.3

Konvertiere $5 + 2 \sqrt{3}$ nach Dezimal.

$= 8.46410161$

Schritt 4.4

Setze den $x$ -Wert $- 8$ in $f (x) = 5 - 2 \sqrt{3 (- x - 7)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 8, 1.53589838)$ .

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Schritt 4.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 8$ .

$f (- 8) = 5 - 2 \sqrt{3 (- (- 8) - 7)}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$f (- 8) = 5 - 2 \sqrt{3 (8 - 7)}$

Schritt 4.4.2.1.2

Subtrahiere $7$ von $8$ .

$f (- 8) = 5 - 2 \sqrt{3 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (- 8) = 5 - 2 \sqrt{3}$

Schritt 4.4.2.2

Die endgültige Lösung ist $5 - 2 \sqrt{3}$ .

$y = 5 - 2 \sqrt{3}$

Schritt 4.4.3

Konvertiere $5 - 2 \sqrt{3}$ nach Dezimal.

$= 1.53589838$

Schritt 4.5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 9 & 9.9 \\ - 9 & 0.1 \\ - 8 & 8.46 \\ - 8 & 1.54 \\ - 7 & 5 \end{array}$

Schritt 5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(- 7, 5)$

Brennpunkt: $(- 10, 5)$

Symmetrieachse: $y = 5$

Leitlinie: $x = - 4$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 9 & 9.9 \\ - 9 & 0.1 \\ - 8 & 8.46 \\ - 8 & 1.54 \\ - 7 & 5 \end{array}$

Schritt 6