Elementarmathematik Beispiele

$y = - x^{2} + 10 x - 30$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- x^{2} + 10 x - 30$ an.

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Schritt 1.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = 10$

$c = - 30$

Schritt 1.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{10}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $2$ .

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Schritt 1.1.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 5$

Schritt 1.1.1.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$d = - 5$

Schritt 1.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 30 - \frac{10^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.4.2.1.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$e = - 30 - \frac{100}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = - 30 - \frac{100}{- 4}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.3

Dividiere $100$ durch $- 4$ .

$e = - 30 - - 25$

Schritt 1.1.1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 25$ .

$e = - 30 + 25$

Schritt 1.1.1.4.2.2

Addiere $- 30$ und $25$ .

$e = - 5$

Schritt 1.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(x - 5)}^{2} - 5$ ein.

$- {(x - 5)}^{2} - 5$

Schritt 1.1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - {(x - 5)}^{2} - 5$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$h = 5$

$k = - 5$

Schritt 1.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(5, - 5)$

Schritt 1.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 1.5.3.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4}$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(5, - \frac{21}{4})$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 5$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - \frac{19}{4}$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(5, - 5)$

Brennpunkt: $(5, - \frac{21}{4})$

Symmetrieachse: $x = 5$

Leitlinie: $y = - \frac{19}{4}$

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(5, - 5)$

Brennpunkt: $(5, - \frac{21}{4})$

Symmetrieachse: $x = 5$

Leitlinie: $y = - \frac{19}{4}$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = - {(4)}^{2} + 10 (4) - 30$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (4) = - 1 \cdot 16 + 10 (4) - 30$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$f (4) = - 16 + 10 (4) - 30$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $10$ mit $4$ .

$f (4) = - 16 + 40 - 30$

Schritt 2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.2.1

Addiere $- 16$ und $40$ .

$f (4) = 24 - 30$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $30$ von $24$ .

$f (4) = - 6$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 6$ .

$- 6$

Schritt 2.3

Der $y$ -Wert bei $x = 4$ ist $- 6$ .

$y = - 6$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = - {(3)}^{2} + 10 (3) - 30$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (3) = - 1 \cdot 9 + 10 (3) - 30$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f (3) = - 9 + 10 (3) - 30$

Schritt 2.5.1.3

Mutltipliziere $10$ mit $3$ .

$f (3) = - 9 + 30 - 30$

Schritt 2.5.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $- 9$ und $30$ .

$f (3) = 21 - 30$

Schritt 2.5.2.2

Subtrahiere $30$ von $21$ .

$f (3) = - 9$

Schritt 2.5.3

Die endgültige Lösung ist $- 9$ .

$- 9$

Schritt 2.6

Der $y$ -Wert bei $x = 3$ ist $- 9$ .

$y = - 9$

Schritt 2.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f (6) = - {(6)}^{2} + 10 (6) - 30$

Schritt 2.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f (6) = - 1 \cdot 36 + 10 (6) - 30$

Schritt 2.8.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$f (6) = - 36 + 10 (6) - 30$

Schritt 2.8.1.3

Mutltipliziere $10$ mit $6$ .

$f (6) = - 36 + 60 - 30$

Schritt 2.8.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.8.2.1

Addiere $- 36$ und $60$ .

$f (6) = 24 - 30$

Schritt 2.8.2.2

Subtrahiere $30$ von $24$ .

$f (6) = - 6$

Schritt 2.8.3

Die endgültige Lösung ist $- 6$ .

$- 6$

Schritt 2.9

Der $y$ -Wert bei $x = 6$ ist $- 6$ .

$y = - 6$

Schritt 2.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f (7) = - {(7)}^{2} + 10 (7) - 30$

Schritt 2.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$f (7) = - 1 \cdot 49 + 10 (7) - 30$

Schritt 2.11.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $49$ .

$f (7) = - 49 + 10 (7) - 30$

Schritt 2.11.1.3

Mutltipliziere $10$ mit $7$ .

$f (7) = - 49 + 70 - 30$

Schritt 2.11.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.11.2.1

Addiere $- 49$ und $70$ .

$f (7) = 21 - 30$

Schritt 2.11.2.2

Subtrahiere $30$ von $21$ .

$f (7) = - 9$

Schritt 2.11.3

Die endgültige Lösung ist $- 9$ .

$- 9$

Schritt 2.12

Der $y$ -Wert bei $x = 7$ ist $- 9$ .

$y = - 9$

Schritt 2.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 3 & - 9 \\ 4 & - 6 \\ 5 & - 5 \\ 6 & - 6 \\ 7 & - 9 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(5, - 5)$

Brennpunkt: $(5, - \frac{21}{4})$

Symmetrieachse: $x = 5$

Leitlinie: $y = - \frac{19}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 3 & - 9 \\ 4 & - 6 \\ 5 & - 5 \\ 6 & - 6 \\ 7 & - 9 \end{array}$

Schritt 4