Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} = 8 y$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe die Gleichung als $8 y = x^{2}$ um.

$8 y = x^{2}$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $8 y = x^{2}$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 y = x^{2}$ durch $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{2}}{8}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{2}}{8}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{8}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{x^{2}}{8}$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{8}$

$b = 0$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{0}{2 (\frac{1}{8})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$d = \frac{2 (0)}{2 (\frac{1}{8})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (\frac{1}{8})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{0}{\frac{1}{8}}$

Schritt 1.2.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 0 \cdot 8$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $0$ mit $8$ .

$d = 0$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 (\frac{1}{8})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 (\frac{1}{8})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{8}$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4}{8}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4 (1)}{8}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.1.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{0}{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = 0 - (0 \cdot 2)$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Multipliziere $- (0 \cdot 2)$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.5.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$e = 0 - 0$

Schritt 1.2.4.2.1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e = 0 + 0$

Schritt 1.2.4.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$e = 0$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{8} x^{2}$ ein.

$\frac{1}{8} x^{2}$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = \frac{1}{8} x^{2}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{8}$

$h = 0$

$k = 0$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(0, 0)$

Schritt 4

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 4.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 4.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{8}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{8}}$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Schritt 4.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Schritt 4.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \cdot 2$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 5

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(0, 2)$

Schritt 6