Elementarmathematik Beispiele

$y = - 2 \cos (\frac{2}{3} x)$

Schritt 1

Wende die Form $a \cos (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = - 2$

$b = \frac{2}{3}$

$c = 0$

$d = 0$

Schritt 2

Bestimme die Amplitude $| a |$ .

Amplitude: $2$

Schritt 3

Ermittele die Periode von $- 2 \cos (\frac{2 x}{3})$ .

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Schritt 3.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2

Ersetze $b$ durch $\frac{2}{3}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{2}{3} |}$

Schritt 3.3

$\frac{2}{3}$ ist ungefähr $0.\overline{6}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{3}{2}$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$2 (π) \frac{3}{2}$

Schritt 3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 π \frac{3}{2}$

Schritt 3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$π \cdot 3$

Schritt 3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$3 π$

Schritt 4

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 4.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 4.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{0}{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung: $0 (\frac{3}{2})$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{3}{2}$ .

Phasenverschiebung: $0$

Schritt 5

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: $2$

Periode: $3 π$

Phasenverschiebung: Keine.

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 6

Wähle einige Punkte aus, um den Graphen zu zeichnen.

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Schritt 6.1

Bestimme den Punkt bei $x = 0$ .

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Schritt 6.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - 2 \cos (\frac{2 (0)}{3})$

Schritt 6.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 6.1.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $2 (0)$ heraus.

$f (0) = - 2 \cos (\frac{3 (2 \cdot (0))}{3})$

Schritt 6.1.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f (0) = - 2 \cos (\frac{3 (2 \cdot (0))}{3 (1)})$

Schritt 6.1.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (0) = - 2 \cos (\frac{3 (2 \cdot (0))}{3 \cdot 1})$

Schritt 6.1.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (0) = - 2 \cos (\frac{2 \cdot (0)}{1})$

Schritt 6.1.2.1.2.4

Dividiere $2 \cdot (0)$ durch $1$ .

$f (0) = - 2 \cos (2 \cdot (0))$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f (0) = - 2 \cos (0)$

Schritt 6.1.2.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (0) = - 2 \cdot 1$

Schritt 6.1.2.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (0) = - 2$

Schritt 6.1.2.5

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 6.2

Bestimme den Punkt bei $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Schritt 6.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3 π}{4}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{2 (\frac{3 π}{4})}{3})$

Schritt 6.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{3 π}{4}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{4}}{3})$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{6 π}{4}}{3})$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache den Ausdruck $\frac{6 π}{4}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6 π$ heraus.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{4}}{3})$

Schritt 6.2.2.3.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 (2)}}{3})$

Schritt 6.2.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}}{3})$

Schritt 6.2.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})$

Schritt 6.2.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 6.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.2.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3 π$ heraus.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 6.2.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 6.2.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 6.2.2.6

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cdot 0$

Schritt 6.2.2.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 0$

Schritt 6.2.2.8

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 6.3

Bestimme den Punkt bei $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Schritt 6.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3 π}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{2 (\frac{3 π}{2})}{3})$

Schritt 6.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{3 π}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2}}{3})$

Schritt 6.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{6 π}{2}}{3})$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.2.3.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{6 π}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 π$ heraus.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2}}{3})$

Schritt 6.3.2.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 (1)}}{3})$

Schritt 6.3.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 1}}{3})$

Schritt 6.3.2.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 π}{1}}{3})$

Schritt 6.3.2.3.2

Dividiere $3 π$ durch $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{3})$

Schritt 6.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{3})$

Schritt 6.3.2.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (π)$

Schritt 6.3.2.5

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 (- \cos (0))$

Schritt 6.3.2.6

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 6.3.2.7

Multipliziere $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 6.3.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cdot - 1$

Schritt 6.3.2.7.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2$

Schritt 6.3.2.8

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 6.4

Bestimme den Punkt bei $x = \frac{9 π}{4}$ .

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Schritt 6.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{9 π}{4}$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{2 (\frac{9 π}{4})}{3})$

Schritt 6.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.4.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{9 π}{4}$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (9 π)}{4}}{3})$

Schritt 6.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{18 π}{4}}{3})$

Schritt 6.4.2.3

Vereinfache den Ausdruck $\frac{18 π}{4}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $18 π$ heraus.

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (9 π)}{4}}{3})$

Schritt 6.4.2.3.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (9 π)}{2 (2)}}{3})$

Schritt 6.4.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (9 π)}{2 \cdot 2}}{3})$

Schritt 6.4.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})$

Schritt 6.4.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 6.4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.4.2.5.1

Faktorisiere $3$ aus $9 π$ heraus.

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 6.4.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 6.4.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

Schritt 6.4.2.6

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 6.4.2.7

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cdot 0$

Schritt 6.4.2.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 0$

Schritt 6.4.2.9

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 6.5

Bestimme den Punkt bei $x = 3 π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3 π$ .

$f (3 π) = - 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{3})$

Schritt 6.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (3 π) = - 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{3})$

Schritt 6.5.2.1.2

Dividiere $2 (π)$ durch $1$ .

$f (3 π) = - 2 \cos (2 (π))$

Schritt 6.5.2.2

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$f (3 π) = - 2 \cos (0)$

Schritt 6.5.2.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (3 π) = - 2 \cdot 1$

Schritt 6.5.2.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (3 π) = - 2$

Schritt 6.5.2.5

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 6.6

Erfasse die Punkte in einer Tabelle.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - 2 \\ \frac{3 π}{4} & 0 \\ \frac{3 π}{2} & 2 \\ \frac{9 π}{4} & 0 \\ 3 π & - 2 \end{array}$

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Amplitude: $2$

Periode: $3 π$

Phasenverschiebung: Keine.

Vertikale Verschiebung: Keine

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - 2 \\ \frac{3 π}{4} & 0 \\ \frac{3 π}{2} & 2 \\ \frac{9 π}{4} & 0 \\ 3 π & - 2 \end{array}$

Schritt 8