Elementarmathematik Beispiele

$x - 4 = y^{2}$

Schritt 1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = y^{2} + 4$

Schritt 2

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} + 4$ an.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 0$

$c = 4$

Schritt 2.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{0}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 (0)}{2 (1)}$

Schritt 2.1.1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{0}{1}$

Schritt 2.1.1.3.2.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$d = 0$

Schritt 2.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 4 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$e = 4 - \frac{0}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 4 - \frac{0}{4}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3

Dividiere $0$ durch $4$ .

$e = 4 - 0$

Schritt 2.1.1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e = 4 + 0$

Schritt 2.1.1.4.2.2

Addiere $4$ und $0$ .

$e = 4$

Schritt 2.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y + 0)}^{2} + 4$ ein.

${(y + 0)}^{2} + 4$

Schritt 2.1.2

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = {(y + 0)}^{2} + 4$

Schritt 2.2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 1$

$h = 4$

$k = 0$

Schritt 2.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach rechts geöffnet.

Öffnet nach Rechts

Schritt 2.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(4, 0)$

Schritt 2.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 2.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 2.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 2.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4}$

Schritt 2.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 2.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 2.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{17}{4}, 0)$

Schritt 2.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = 0$

Schritt 2.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 2.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 2.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = \frac{15}{4}$

Schritt 2.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(4, 0)$

Brennpunkt: $(\frac{17}{4}, 0)$

Symmetrieachse: $y = 0$

Leitlinie: $x = \frac{15}{4}$

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(4, 0)$

Brennpunkt: $(\frac{17}{4}, 0)$

Symmetrieachse: $y = 0$

Leitlinie: $x = \frac{15}{4}$

Schritt 3

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 3.1

Setze den $x$ -Wert $5$ in $f (x) = \sqrt{x - 4}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(5, 1)$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = \sqrt{(5) - 4}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$f (5) = \sqrt{1}$

Schritt 3.1.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (5) = 1$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 3.1.3

Konvertiere $1$ nach Dezimal.

$= 1$

Schritt 3.2

Setze den $x$ -Wert $5$ in $f (x) = - \sqrt{x - 4}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(5, - 1)$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = - \sqrt{(5) - 4}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.2.1

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$f (5) = - \sqrt{1}$

Schritt 3.2.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (5) = - 1 \cdot 1$

Schritt 3.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (5) = - 1$

Schritt 3.2.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$y = - 1$

Schritt 3.2.3

Konvertiere $- 1$ nach Dezimal.

$= - 1$

Schritt 3.3

Setze den $x$ -Wert $6$ in $f (x) = \sqrt{x - 4}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(6, 1.41421356)$ .

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f (6) = \sqrt{(6) - 4}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $4$ von $6$ .

$f (6) = \sqrt{2}$

Schritt 3.3.2.2

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Schritt 3.3.3

Konvertiere $\sqrt{2}$ nach Dezimal.

$= 1.41421356$

Schritt 3.4

Setze den $x$ -Wert $6$ in $f (x) = - \sqrt{x - 4}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(6, - 1.41421356)$ .

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Schritt 3.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f (6) = - \sqrt{(6) - 4}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.4.2.1

Subtrahiere $4$ von $6$ .

$f (6) = - \sqrt{2}$

Schritt 3.4.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Schritt 3.4.3

Konvertiere $- \sqrt{2}$ nach Dezimal.

$= - 1.41421356$

Schritt 3.5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 0 \\ 5 & 1 \\ 5 & - 1 \\ 6 & 1.41 \\ 6 & - 1.41 \end{array}$

Schritt 4

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(4, 0)$

Brennpunkt: $(\frac{17}{4}, 0)$

Symmetrieachse: $y = 0$

Leitlinie: $x = \frac{15}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 0 \\ 5 & 1 \\ 5 & - 1 \\ 6 & 1.41 \\ 6 & - 1.41 \end{array}$

Schritt 5