Elementarmathematik Beispiele

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{2}$ .

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Schritt 1.1

Forme um.

$x - 4 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{2}$

Schritt 1.2

Schreibe ${(y - 1)}^{2}$ als $(y - 1) (y - 1)$ um.

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot ((y - 1) (y - 1))$

Schritt 1.3

Multipliziere $(y - 1) (y - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y (y - 1) - 1 (y - 1))$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 (y - 1))$

Schritt 1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1)$

Schritt 1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1)$

Schritt 1.4.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - 1 \cdot y - 1 y - 1 \cdot - 1)$

Schritt 1.4.1.3

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - y - 1 y - 1 \cdot - 1)$

Schritt 1.4.1.4

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - y - y - 1 \cdot - 1)$

Schritt 1.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - y - y + 1)$

Schritt 1.4.2

Subtrahiere $y$ von $- y$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - 2 y + 1)$

Schritt 1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 4 = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} (- 2 y) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} (- 2 y) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- y)) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- y)) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 1.6.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2}$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2} + 4$

Schritt 2.2

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1 + 4 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1 + 8}{2}$

Schritt 2.5.2

Addiere $1$ und $8$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{9}{2}$

Schritt 3

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 3.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{y^{2}}{2} - y + \frac{9}{2}$ an.

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Schritt 3.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{2}$

$b = - 1$

$c = \frac{9}{2}$

Schritt 3.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 3.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 1}{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 3.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.1.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.1.1.3.2.2

Dividiere $2$ durch $2$ .

$d = \frac{- 1}{1}$

Schritt 3.1.1.3.2.3

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$d = - 1$

Schritt 3.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = \frac{9}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 3.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.4.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = \frac{9}{2} - \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{9}{2} - \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.3

Dividiere $4$ durch $2$ .

$e = \frac{9}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 3.1.1.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{9 - 1}{2}$

Schritt 3.1.1.4.2.3

Subtrahiere $1$ von $9$ .

$e = \frac{8}{2}$

Schritt 3.1.1.4.2.4

Dividiere $8$ durch $2$ .

$e = 4$

Schritt 3.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{2} {(y - 1)}^{2} + 4$ ein.

$\frac{1}{2} {(y - 1)}^{2} + 4$

Schritt 3.1.2

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = \frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{2} + 4$

Schritt 3.2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{2}$

$h = 4$

$k = 1$

Schritt 3.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach rechts geöffnet.

Öffnet nach Rechts

Schritt 3.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(4, 1)$

Schritt 3.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 3.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 3.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Schritt 3.5.3.2

Dividiere $4$ durch $2$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 3.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 3.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 3.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{9}{2}, 1)$

Schritt 3.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = 1$

Schritt 3.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 3.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 3.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = \frac{7}{2}$

Schritt 3.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(4, 1)$

Brennpunkt: $(\frac{9}{2}, 1)$

Symmetrieachse: $y = 1$

Leitlinie: $x = \frac{7}{2}$

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(4, 1)$

Brennpunkt: $(\frac{9}{2}, 1)$

Symmetrieachse: $y = 1$

Leitlinie: $x = \frac{7}{2}$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $5$ in $f (x) = \sqrt{2 (x - 4)} + 1$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(5, 2.41421356)$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = \sqrt{2 ((5) - 4)} + 1$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$f (5) = \sqrt{2 \cdot 1} + 1$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (5) = \sqrt{2} + 1$

Schritt 4.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{2} + 1$ .

$y = \sqrt{2} + 1$

Schritt 4.1.3

Konvertiere $\sqrt{2} + 1$ nach Dezimal.

$= 2.41421356$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $5$ in $f (x) = - \sqrt{2 (x - 4)} + 1$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(5, - 0.41421356)$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = - \sqrt{2 ((5) - 4)} + 1$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$f (5) = - \sqrt{2 \cdot 1} + 1$

Schritt 4.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (5) = - \sqrt{2} + 1$

Schritt 4.2.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \sqrt{2} + 1$ .

$y = - \sqrt{2} + 1$

Schritt 4.2.3

Konvertiere $- \sqrt{2} + 1$ nach Dezimal.

$= - 0.41421356$

Schritt 4.3

Setze den $x$ -Wert $6$ in $f (x) = \sqrt{2 (x - 4)} + 1$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(6, 3)$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f (6) = \sqrt{2 ((6) - 4)} + 1$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Subtrahiere $4$ von $6$ .

$f (6) = \sqrt{2 \cdot 2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (6) = \sqrt{4} + 1$

Schritt 4.3.2.1.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (6) = \sqrt{2^{2}} + 1$

Schritt 4.3.2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (6) = 2 + 1$

Schritt 4.3.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f (6) = 3$

Schritt 4.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$y = 3$

Schritt 4.3.3

Konvertiere $3$ nach Dezimal.

$= 3$

Schritt 4.4

Setze den $x$ -Wert $6$ in $f (x) = - \sqrt{2 (x - 4)} + 1$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(6, - 1)$ .

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Schritt 4.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f (6) = - \sqrt{2 ((6) - 4)} + 1$

Schritt 4.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.2.1.1

Subtrahiere $4$ von $6$ .

$f (6) = - \sqrt{2 \cdot 2} + 1$

Schritt 4.4.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (6) = - \sqrt{4} + 1$

Schritt 4.4.2.1.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (6) = - \sqrt{2^{2}} + 1$

Schritt 4.4.2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (6) = - 1 \cdot 2 + 1$

Schritt 4.4.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (6) = - 2 + 1$

Schritt 4.4.2.2

Addiere $- 2$ und $1$ .

$f (6) = - 1$

Schritt 4.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$y = - 1$

Schritt 4.4.3

Konvertiere $- 1$ nach Dezimal.

$= - 1$

Schritt 4.5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 1 \\ 5 & 2.41 \\ 5 & - 0.41 \\ 6 & 3 \\ 6 & - 1 \end{array}$

Schritt 5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(4, 1)$

Brennpunkt: $(\frac{9}{2}, 1)$

Symmetrieachse: $y = 1$

Leitlinie: $x = \frac{7}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 1 \\ 5 & 2.41 \\ 5 & - 0.41 \\ 6 & 3 \\ 6 & - 1 \end{array}$

Schritt 6