Elementarmathematik Beispiele

$y + 2 = - 2 {(x + 3)}^{2}$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 2 {(x + 3)}^{2} - 2$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 2$

$h = - 3$

$k = - 2$

Schritt 1.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 3, - 2)$

Schritt 1.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache.

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Schritt 1.5.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{- 8}$

Schritt 1.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{8}$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 3, - \frac{17}{8})$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = - 3$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - \frac{15}{8}$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(- 3, - 2)$

Brennpunkt: $(- 3, - \frac{17}{8})$

Symmetrieachse: $x = - 3$

Leitlinie: $y = - \frac{15}{8}$

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(- 3, - 2)$

Brennpunkt: $(- 3, - \frac{17}{8})$

Symmetrieachse: $x = - 3$

Leitlinie: $y = - \frac{15}{8}$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f (- 4) = - 2 {(- 4)}^{2} - 12 \cdot - 4 - 20$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f (- 4) = - 2 \cdot 16 - 12 \cdot - 4 - 20$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $16$ .

$f (- 4) = - 32 - 12 \cdot - 4 - 20$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 4$ .

$f (- 4) = - 32 + 48 - 20$

Schritt 2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.2.1

Addiere $- 32$ und $48$ .

$f (- 4) = 16 - 20$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $20$ von $16$ .

$f (- 4) = - 4$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 4$ .

$- 4$

Schritt 2.3

Der $y$ -Wert bei $x = - 4$ ist $- 4$ .

$y = - 4$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 5$ .

$f (- 5) = - 2 {(- 5)}^{2} - 12 \cdot - 5 - 20$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$f (- 5) = - 2 \cdot 25 - 12 \cdot - 5 - 20$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $25$ .

$f (- 5) = - 50 - 12 \cdot - 5 - 20$

Schritt 2.5.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 5$ .

$f (- 5) = - 50 + 60 - 20$

Schritt 2.5.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $- 50$ und $60$ .

$f (- 5) = 10 - 20$

Schritt 2.5.2.2

Subtrahiere $20$ von $10$ .

$f (- 5) = - 10$

Schritt 2.5.3

Die endgültige Lösung ist $- 10$ .

$- 10$

Schritt 2.6

Der $y$ -Wert bei $x = - 5$ ist $- 10$ .

$y = - 10$

Schritt 2.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = - 2 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 - 20$

Schritt 2.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.1.1

Multipliziere $- 2$ mit ${(- 2)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.8.1.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit ${(- 2)}^{2}$ .

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Schritt 2.8.1.1.1.1

Potenziere $- 2$ mit $1$ .

$f (- 2) = (- 2) {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 - 20$

Schritt 2.8.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- 2) = {(- 2)}^{1 + 2} - 12 \cdot - 2 - 20$

Schritt 2.8.1.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2 - 20$

Schritt 2.8.1.2

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f (- 2) = - 8 - 12 \cdot - 2 - 20$

Schritt 2.8.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = - 8 + 24 - 20$

Schritt 2.8.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.8.2.1

Addiere $- 8$ und $24$ .

$f (- 2) = 16 - 20$

Schritt 2.8.2.2

Subtrahiere $20$ von $16$ .

$f (- 2) = - 4$

Schritt 2.8.3

Die endgültige Lösung ist $- 4$ .

$- 4$

Schritt 2.9

Der $y$ -Wert bei $x = - 2$ ist $- 4$ .

$y = - 4$

Schritt 2.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = - 2 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1 - 20$

Schritt 2.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = - 2 \cdot 1 - 12 \cdot - 1 - 20$

Schritt 2.11.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (- 1) = - 2 - 12 \cdot - 1 - 20$

Schritt 2.11.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = - 2 + 12 - 20$

Schritt 2.11.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.11.2.1

Addiere $- 2$ und $12$ .

$f (- 1) = 10 - 20$

Schritt 2.11.2.2

Subtrahiere $20$ von $10$ .

$f (- 1) = - 10$

Schritt 2.11.3

Die endgültige Lösung ist $- 10$ .

$- 10$

Schritt 2.12

Der $y$ -Wert bei $x = - 1$ ist $- 10$ .

$y = - 10$

Schritt 2.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 10 \\ - 4 & - 4 \\ - 3 & - 2 \\ - 2 & - 4 \\ - 1 & - 10 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(- 3, - 2)$

Brennpunkt: $(- 3, - \frac{17}{8})$

Symmetrieachse: $x = - 3$

Leitlinie: $y = - \frac{15}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 10 \\ - 4 & - 4 \\ - 3 & - 2 \\ - 2 & - 4 \\ - 1 & - 10 \end{array}$

Schritt 4