Elementarmathematik Beispiele

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Vereinfache $- \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$ .

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Schritt 1.1.1

Forme um.

$y - 5 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$

Schritt 1.1.2

Schreibe ${(x - 3)}^{2}$ als $(x - 3) (x - 3)$ um.

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot ((x - 3) (x - 3))$

Schritt 1.1.3

Multipliziere $(x - 3) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x (x - 3) - 3 (x - 3))$

Schritt 1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))$

Schritt 1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)$

Schritt 1.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)$

Schritt 1.1.4.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)$

Schritt 1.1.4.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)$

Schritt 1.1.4.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 3 x$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 6 x + 9)$

Schritt 1.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 5 = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (- 6 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Schritt 1.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.6.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (- 6 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Schritt 1.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.6.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (- 6 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Schritt 1.1.6.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x$ heraus.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- 3 x)) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Schritt 1.1.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- 3 x)) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Schritt 1.1.6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} - 1 (- 3 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Schritt 1.1.6.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{1}{2} \cdot 9$

Schritt 1.1.6.4

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot 9$ .

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Schritt 1.1.6.4.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - 9 (\frac{1}{2})$

Schritt 1.1.6.4.2

Kombiniere $- 9$ und $\frac{1}{2}$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{- 9}{2}$

Schritt 1.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2}$

Schritt 1.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2} + 5$

Schritt 1.2.2

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

Schritt 1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{- 9 + 5 \cdot 2}{2}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{- 9 + 10}{2}$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $- 9$ und $10$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{1}{2}$

Schritt 2

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{1}{2}$ an.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 3$

$c = \frac{1}{2}$

Schritt 2.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{3}{2 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.3.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$d = \frac{3}{- 2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.3.2.1.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{3}{\frac{- 2}{2}}$

Schritt 2.1.1.3.2.2

Dividiere $- 2$ durch $2$ .

$d = \frac{3}{- 1}$

Schritt 2.1.1.3.2.3

Dividiere $3$ durch $- 1$ .

$d = - 3$

Schritt 2.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = \frac{1}{2} - \frac{3^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{- 4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{\frac{- 4}{2}}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3

Dividiere $- 4$ durch $2$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{- 2}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = \frac{1}{2} - - \frac{9}{2}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.5

Multipliziere $- - \frac{9}{2}$ .

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Schritt 2.1.1.4.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = \frac{1}{2} + 1 (\frac{9}{2})$

Schritt 2.1.1.4.2.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $1$ .

$e = \frac{1}{2} + \frac{9}{2}$

Schritt 2.1.1.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{1 + 9}{2}$

Schritt 2.1.1.4.2.3

Addiere $1$ und $9$ .

$e = \frac{10}{2}$

Schritt 2.1.1.4.2.4

Dividiere $10$ durch $2$ .

$e = 5$

Schritt 2.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 5$ ein.

$- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 5$

Schritt 2.1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2} + 5$

Schritt 2.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 3$

$k = 5$

Schritt 2.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 2.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(3, 5)$

Schritt 2.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 2.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 2.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 2.5.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Schritt 2.5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.5.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Schritt 2.5.3.3

Dividiere $4$ durch $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Schritt 2.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 2.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 2.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(3, \frac{9}{2})$

Schritt 2.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 3$

Schritt 2.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 2.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 2.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = \frac{11}{2}$

Schritt 2.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(3, 5)$

Brennpunkt: $(3, \frac{9}{2})$

Symmetrieachse: $x = 3$

Leitlinie: $y = \frac{11}{2}$

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(3, 5)$

Brennpunkt: $(3, \frac{9}{2})$

Symmetrieachse: $x = 3$

Leitlinie: $y = \frac{11}{2}$

Schritt 3

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{2} + 3 (1) + \frac{1}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (1) = 3 (1) + \frac{- {(1)}^{2} + 1}{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 3 (1) + \frac{- 1 \cdot 1 + 1}{2}$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = 3 (1) + \frac{- 1 + 1}{2}$

Schritt 3.2.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (1) = 3 (1) + \frac{0}{2}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (1) = 3 + \frac{0}{2}$

Schritt 3.2.4.2

Dividiere $0$ durch $2$ .

$f (1) = 3 + 0$

Schritt 3.2.5

Addiere $3$ und $0$ .

$f (1) = 3$

Schritt 3.2.6

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$3$

Schritt 3.3

Der $y$ -Wert bei $x = 1$ ist $3$ .

$y = 3$

Schritt 3.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{2} + 3 (2) + \frac{1}{2}$

Schritt 3.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (2) = 3 (2) + \frac{- {(2)}^{2} + 1}{2}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = 3 (2) + \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{2}$

Schritt 3.5.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (2) = 3 (2) + \frac{- 4 + 1}{2}$

Schritt 3.5.3

Addiere $- 4$ und $1$ .

$f (2) = 3 (2) + \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (2) = 6 + \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.5.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (2) = 6 - \frac{3}{2}$

Schritt 3.5.5

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Schritt 3.5.6

Kombiniere $6$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Schritt 3.5.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (2) = \frac{6 \cdot 2 - 3}{2}$

Schritt 3.5.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.8.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$f (2) = \frac{12 - 3}{2}$

Schritt 3.5.8.2

Subtrahiere $3$ von $12$ .

$f (2) = \frac{9}{2}$

Schritt 3.5.9

Die endgültige Lösung ist $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2}$

Schritt 3.6

Der $y$ -Wert bei $x = 2$ ist $\frac{9}{2}$ .

$y = \frac{9}{2}$

Schritt 3.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = - \frac{{(5)}^{2}}{2} + 3 (5) + \frac{1}{2}$

Schritt 3.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (5) = 3 (5) + \frac{- {(5)}^{2} + 1}{2}$

Schritt 3.8.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.8.2.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (5) = 3 (5) + \frac{- 1 \cdot 25 + 1}{2}$

Schritt 3.8.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$f (5) = 3 (5) + \frac{- 25 + 1}{2}$

Schritt 3.8.3

Addiere $- 25$ und $1$ .

$f (5) = 3 (5) + \frac{- 24}{2}$

Schritt 3.8.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.8.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$f (5) = 15 + \frac{- 24}{2}$

Schritt 3.8.4.2

Dividiere $- 24$ durch $2$ .

$f (5) = 15 - 12$

Schritt 3.8.5

Subtrahiere $12$ von $15$ .

$f (5) = 3$

Schritt 3.8.6

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$3$

Schritt 3.9

Der $y$ -Wert bei $x = 5$ ist $3$ .

$y = 3$

Schritt 3.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = - \frac{{(4)}^{2}}{2} + 3 (4) + \frac{1}{2}$

Schritt 3.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.11.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (4) = 3 (4) + \frac{- {(4)}^{2} + 1}{2}$

Schritt 3.11.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.11.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (4) = 3 (4) + \frac{- 1 \cdot 16 + 1}{2}$

Schritt 3.11.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$f (4) = 3 (4) + \frac{- 16 + 1}{2}$

Schritt 3.11.3

Addiere $- 16$ und $1$ .

$f (4) = 3 (4) + \frac{- 15}{2}$

Schritt 3.11.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.11.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f (4) = 12 + \frac{- 15}{2}$

Schritt 3.11.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (4) = 12 - \frac{15}{2}$

Schritt 3.11.5

Um $12$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = 12 \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{2}$

Schritt 3.11.6

Kombiniere $12$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{12 \cdot 2}{2} - \frac{15}{2}$

Schritt 3.11.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (4) = \frac{12 \cdot 2 - 15}{2}$

Schritt 3.11.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.11.8.1

Mutltipliziere $12$ mit $2$ .

$f (4) = \frac{24 - 15}{2}$

Schritt 3.11.8.2

Subtrahiere $15$ von $24$ .

$f (4) = \frac{9}{2}$

Schritt 3.11.9

Die endgültige Lösung ist $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2}$

Schritt 3.12

Der $y$ -Wert bei $x = 4$ ist $\frac{9}{2}$ .

$y = \frac{9}{2}$

Schritt 3.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 3 \\ 2 & \frac{9}{2} \\ 3 & 5 \\ 4 & \frac{9}{2} \\ 5 & 3 \end{array}$

Schritt 4

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(3, 5)$

Brennpunkt: $(3, \frac{9}{2})$

Symmetrieachse: $x = 3$

Leitlinie: $y = \frac{11}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 3 \\ 2 & \frac{9}{2} \\ 3 & 5 \\ 4 & \frac{9}{2} \\ 5 & 3 \end{array}$

Schritt 5