Elementarmathematik Beispiele

$g (x) = \log_{5} (x - 4) - 3$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Ermittle, wo der Ausdruck $\log_{5} (x - 4) - 3$ nicht definiert ist.

$x \leq 4$

Schritt 1.2

Da $\log_{5} (x - 4) - 3$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $4$ von links und $\log_{5} (x - 4) - 3$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $4$ von rechts, dann ist $x = 4$ eine vertikale Asymptote.

$x = 4$

Schritt 1.3

Den Logarithmus außer Acht lassend, betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 1.4

Es gibt keine horizontalen Asymptoten, da $Q (x)$ $1$ ist.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 1.5

Es sind keine schiefen Asymptoten für logarithmische und trigonometrische Funktionen vorhanden.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 1.6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 4$

Keine horizontalen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = 4$

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 5$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = \log_{5} ((5) - 4) - 3$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$f (5) = \log_{5} (1) - 3$

Schritt 2.2.1.2

Die logarithmische Basis $5$ von $1$ ist $0$ .

$f (5) = 0 - 3$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$f (5) = - 3$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$- 3$

Schritt 2.3

Konvertiere $- 3$ nach Dezimal.

$y = - 3$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 9$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $9$ .

$f (9) = \log_{5} ((9) - 4) - 3$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$f (9) = \log_{5} (5) - 3$

Schritt 3.2.1.2

Die logarithmische Basis $5$ von $5$ ist $1$ .

$f (9) = 1 - 3$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f (9) = - 2$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 3.3

Konvertiere $- 2$ nach Dezimal.

$y = - 2$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 6$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f (6) = \log_{5} ((6) - 4) - 3$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $4$ von $6$ .

$f (6) = \log_{5} (2) - 3$

Schritt 4.2.2

Die endgültige Lösung ist $\log_{5} (2) - 3$ .

$\log_{5} (2) - 3$

Schritt 4.3

Konvertiere $\log_{5} (2) - 3$ nach Dezimal.

$y = - 2.56932344$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 4$ und den Punkten $(5, - 3), (9, - 2), (6, - 2.56932344)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 4$

$\begin{array}{c} x & y \\ 5 & - 3 \\ 6 & - 2.569 \\ 9 & - 2 \end{array}$

Schritt 6