Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 5 \tan (\frac{1}{4} x + \frac{π}{4}) - 2$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Für jedes $y = \tan (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = \frac{π}{2} + n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = \tan (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = 5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 2$ zu bestimmen. Setze das Innere der Tangens-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \tan (b x + c) + d$ gleich $- \frac{π}{2}$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = 5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 2$ auftritt.

$\frac{x}{4} + \frac{π}{4} = - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1.1

Subtrahiere $\frac{π}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{4} = - \frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.1.2

Um $- \frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{4} = - \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{4} = - \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x}{4} = - \frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{4} = \frac{- π \cdot 2 - π}{4}$

Schritt 1.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x}{4} = \frac{- 2 π - π}{4}$

Schritt 1.2.1.5.2

Subtrahiere $π$ von $- 2 π$ .

$\frac{x}{4} = \frac{- 3 π}{4}$

Schritt 1.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x}{4} = - \frac{3 π}{4}$

Schritt 1.2.2

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$x = - 3 π$

Schritt 1.3

Setze das Innere der Tangensfunktion $\frac{x}{4} + \frac{π}{4}$ gleich $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{4} + \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Schritt 1.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.4.1.1

Subtrahiere $\frac{π}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{4} = \frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

Schritt 1.4.1.2

Um $\frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{4} = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Schritt 1.4.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{4} = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Schritt 1.4.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x}{4} = \frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 1.4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{4} = \frac{π \cdot 2 - π}{4}$

Schritt 1.4.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.5.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{x}{4} = \frac{2 \cdot π - π}{4}$

Schritt 1.4.1.5.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$\frac{x}{4} = \frac{π}{4}$

Schritt 1.4.2

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$x = π$

Schritt 1.5

Die fundamentale Periode für $y = 5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 2$ tritt auf bei $(- 3 π, π)$ , wobei $- 3 π$ und $π$ vertikale Asymptoten sind.

$(- 3 π, π)$

Schritt 1.6

Ermittle die Periode $\frac{π}{| b |}$ , um zu bestimmen, an welchen Stellen die vertikalen Asymptoten existieren.

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Schritt 1.6.1

$\frac{1}{4}$ ist ungefähr $0.25$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.6.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \cdot 4$

Schritt 1.6.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$4 π$

Schritt 1.7

Die vertikalen Asymptoten für $y = 5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 2$ treten auf bei $- 3 π$ , $π$ und aller $x = - 3 π + 4 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist.

$x = - 3 π + 4 π n$

Schritt 1.8

Der Tangens hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = - 3 π + 4 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = - 3 π + 4 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 2

Wende die Form $a \tan (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = 5$

$b = \frac{1}{4}$

$c = - \frac{π}{4}$

$d = - 2$

Schritt 3

Da der Graph der Funktion $t a n$ kein Maximum oder Minimum hat, kann es keinen Wert für die Amplitude geben.

Amplitude: Keine

Schritt 4

Ermittle die Periode mithilfe der Formel $\frac{π}{| b |}$ .

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Schritt 4.1

Ermittele die Periode von $5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4})$ .

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Schritt 4.1.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.1.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{4}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| \frac{1}{4} |}$

Schritt 4.1.3

$\frac{1}{4}$ ist ungefähr $0.25$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{1}{4}}$

Schritt 4.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \cdot 4$

Schritt 4.1.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$4 π$

Schritt 4.2

Ermittele die Periode von $- 2$ .

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Schritt 4.2.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.2.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{4}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| \frac{1}{4} |}$

Schritt 4.2.3

$\frac{1}{4}$ ist ungefähr $0.25$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{1}{4}}$

Schritt 4.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \cdot 4$

Schritt 4.2.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$4 π$

Schritt 4.3

Die Periode der Summe/Differenz trigonometrischer Funktionen ist das Maximum der individuellen Perioden.

$4 π$

Schritt 5

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 5.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{- \frac{π}{4}}{\frac{1}{4}}$

Schritt 5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung: $- \frac{π}{4} \cdot 4$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{4}$ in den Zähler.

Phasenverschiebung: $\frac{- π}{4} \cdot 4$

Schritt 5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Phasenverschiebung: $\frac{- π}{4} \cdot 4$

Schritt 5.4.3

Forme den Ausdruck um.

Phasenverschiebung: $- π$

Schritt 6

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: Keine

Periode: $4 π$

Phasenverschiebung: $- π$ ( $π$ nach links)

Vertikale Verschiebung: $- 2$

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Vertikale Asymptoten: $x = - 3 π + 4 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Amplitude: Keine

Periode: $4 π$

Phasenverschiebung: $- π$ ( $π$ nach links)

Vertikale Verschiebung: $- 2$

Schritt 8