Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 3 x^{2} - 12 x + 11$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $3 x^{2} - 12 x + 11$ an.

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Schritt 1.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 3$

$b = - 12$

$c = 11$

Schritt 1.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $2$ .

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Schritt 1.1.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 12$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 3$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (3)}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 6}{3}$

Schritt 1.1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $3$ .

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Schritt 1.1.1.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$d = \frac{3 \cdot - 2}{3}$

Schritt 1.1.1.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.3.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$d = \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)}$

Schritt 1.1.1.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 2}{1}$

Schritt 1.1.1.3.2.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$d = - 2$

Schritt 1.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 11 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Schritt 1.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.4.2.1.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$e = 11 - \frac{144}{4 \cdot 3}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$e = 11 - \frac{144}{12}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.3

Dividiere $144$ durch $12$ .

$e = 11 - 1 \cdot 12$

Schritt 1.1.1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$e = 11 - 12$

Schritt 1.1.1.4.2.2

Subtrahiere $12$ von $11$ .

$e = - 1$

Schritt 1.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $3 {(x - 2)}^{2} - 1$ ein.

$3 {(x - 2)}^{2} - 1$

Schritt 1.1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - 1$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 3$

$h = 2$

$k = - 1$

Schritt 1.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(2, - 1)$

Schritt 1.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 3}$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{1}{12}$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(2, - \frac{11}{12})$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 2$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - \frac{13}{12}$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(2, - 1)$

Brennpunkt: $(2, - \frac{11}{12})$

Symmetrieachse: $x = 2$

Leitlinie: $y = - \frac{13}{12}$

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(2, - 1)$

Brennpunkt: $(2, - \frac{11}{12})$

Symmetrieachse: $x = 2$

Leitlinie: $y = - \frac{13}{12}$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 11$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 12 \cdot 1 + 11$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (1) = 3 - 12 \cdot 1 + 11$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$f (1) = 3 - 12 + 11$

Schritt 2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.2.1

Subtrahiere $12$ von $3$ .

$f (1) = - 9 + 11$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $- 9$ und $11$ .

$f (1) = 2$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 2.3

Der $y$ -Wert bei $x = 1$ ist $2$ .

$y = 2$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = 3 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 11$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 11$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f (0) = 0 - 12 \cdot 0 + 11$

Schritt 2.5.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 11$

Schritt 2.5.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 11$

Schritt 2.5.2.2

Addiere $0$ und $11$ .

$f (0) = 11$

Schritt 2.5.3

Die endgültige Lösung ist $11$ .

$11$

Schritt 2.6

Der $y$ -Wert bei $x = 0$ ist $11$ .

$y = 11$

Schritt 2.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = 3 {(3)}^{2} - 12 \cdot 3 + 11$

Schritt 2.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.1.1

Multipliziere $3$ mit ${(3)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.8.1.1.1

Mutltipliziere $3$ mit ${(3)}^{2}$ .

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Schritt 2.8.1.1.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$f (3) = 3 {(3)}^{2} - 12 \cdot 3 + 11$

Schritt 2.8.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (3) = 3^{1 + 2} - 12 \cdot 3 + 11$

Schritt 2.8.1.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (3) = 3^{3} - 12 \cdot 3 + 11$

Schritt 2.8.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (3) = 27 - 12 \cdot 3 + 11$

Schritt 2.8.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $3$ .

$f (3) = 27 - 36 + 11$

Schritt 2.8.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.8.2.1

Subtrahiere $36$ von $27$ .

$f (3) = - 9 + 11$

Schritt 2.8.2.2

Addiere $- 9$ und $11$ .

$f (3) = 2$

Schritt 2.8.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 2.9

Der $y$ -Wert bei $x = 3$ ist $2$ .

$y = 2$

Schritt 2.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = 3 {(4)}^{2} - 12 \cdot 4 + 11$

Schritt 2.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (4) = 3 \cdot 16 - 12 \cdot 4 + 11$

Schritt 2.11.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$f (4) = 48 - 12 \cdot 4 + 11$

Schritt 2.11.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $4$ .

$f (4) = 48 - 48 + 11$

Schritt 2.11.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.11.2.1

Subtrahiere $48$ von $48$ .

$f (4) = 0 + 11$

Schritt 2.11.2.2

Addiere $0$ und $11$ .

$f (4) = 11$

Schritt 2.11.3

Die endgültige Lösung ist $11$ .

$11$

Schritt 2.12

Der $y$ -Wert bei $x = 4$ ist $11$ .

$y = 11$

Schritt 2.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 11 \\ 1 & 2 \\ 2 & - 1 \\ 3 & 2 \\ 4 & 11 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(2, - 1)$

Brennpunkt: $(2, - \frac{11}{12})$

Symmetrieachse: $x = 2$

Leitlinie: $y = - \frac{13}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 11 \\ 1 & 2 \\ 2 & - 1 \\ 3 & 2 \\ 4 & 11 \end{array}$

Schritt 4