Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 3 \log (x + 5) + 2$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Ermittle, wo der Ausdruck $\log ({(x + 5)}^{3}) + 2$ nicht definiert ist.

$x \leq - 5$

Schritt 1.2

Da $\log ({(x + 5)}^{3}) + 2$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $- 5$ von links und $\log ({(x + 5)}^{3}) + 2$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $- 5$ von rechts, dann ist $x = - 5$ eine vertikale Asymptote.

$x = - 5$

Schritt 1.3

Den Logarithmus außer Acht lassend, betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 1.4

Es gibt keine horizontalen Asymptoten, da $Q (x)$ $1$ ist.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 1.5

Es sind keine schiefen Asymptoten für logarithmische und trigonometrische Funktionen vorhanden.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 1.6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - 5$

Keine horizontalen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = - 5$

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = - 4$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f (- 4) = 3 \log ((- 4) + 5) + 2$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Addiere $- 4$ und $5$ .

$f (- 4) = 3 \log (1) + 2$

Schritt 2.2.1.2

Die logarithmische Basis $10$ von $1$ ist $0$ .

$f (- 4) = 3 \cdot 0 + 2$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f (- 4) = 0 + 2$

Schritt 2.2.2

Addiere $0$ und $2$ .

$f (- 4) = 2$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 2.3

Konvertiere $2$ nach Dezimal.

$y = 2$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 5$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = 3 \log ((5) + 5) + 2$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Addiere $5$ und $5$ .

$f (5) = 3 \log (10) + 2$

Schritt 3.2.1.2

Die logarithmische Basis $10$ von $10$ ist $1$ .

$f (5) = 3 \cdot 1 + 2$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (5) = 3 + 2$

Schritt 3.2.2

Addiere $3$ und $2$ .

$f (5) = 5$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $5$ .

$5$

Schritt 3.3

Konvertiere $5$ nach Dezimal.

$y = 5$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = - 3$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = 3 \log ((- 3) + 5) + 2$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Addiere $- 3$ und $5$ .

$f (- 3) = 3 \log (2) + 2$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache $3 \log (2)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$f (- 3) = \log (2^{3}) + 2$

Schritt 4.2.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (- 3) = \log (8) + 2$

Schritt 4.2.2

Die endgültige Lösung ist $\log (8) + 2$ .

$\log (8) + 2$

Schritt 4.3

Konvertiere $\log (8) + 2$ nach Dezimal.

$y = 2.90308998$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = - 5$ und den Punkten $(- 4, 2), (5, 5), (- 3, 2.90308998)$ .

Vertikale Asymptote: $x = - 5$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 2 \\ - 3 & 2.903 \\ 5 & 5 \end{array}$

Schritt 6