Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{x} + x = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{x} = 1 - x$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x}}^{2} = {(1 - x)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 - x)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(1 - x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$x = {(1 - x)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(1 - x)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(1 - x)}^{2}$ als $(1 - x) (1 - x)$ um.

$x = (1 - x) (1 - x)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(1 - x) (1 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 1 (1 - x) - x (1 - x)$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$x = 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$x = 1 - x - x \cdot 1 - x (- x)$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x = 1 - x - x - x (- x)$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = 1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$x = 1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Schritt 3.3.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x = 1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 1 - x - x + 1 x^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.7

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x = 1 - x - x + x^{2}$

Schritt 3.3.1.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$x = 1 - 2 x + x^{2}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$1 - 2 x + x^{2} = x$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$1 - 2 x + x^{2} - x = 0$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $x$ von $- 2 x$ .

$1 + x^{2} - 3 x = 0$

Schritt 4.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 3$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 4.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.3

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{x} + x = 1$ nicht erfüllen.

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Dezimalform:

$x = 0.38196601 \dots$