Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \log_{4} (x - 3)$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Setze das Argument des Logarithmus gleich null.

$x - 3 = 0$

Schritt 1.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 1.3

Die vertikale Asymptote tritt bei $x = 3$ auf.

Vertikale Asymptote: $x = 3$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 4$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = \log_{4} ((4) - 3)$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$f (4) = \log_{4} (1)$

Schritt 2.2.2

Die logarithmische Basis $4$ von $1$ ist $0$ .

$f (4) = 0$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 2.3

Konvertiere $0$ nach Dezimal.

$y = 0$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 7$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f (7) = \log_{4} ((7) - 3)$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $3$ von $7$ .

$f (7) = \log_{4} (4)$

Schritt 3.2.2

Die logarithmische Basis $4$ von $4$ ist $1$ .

$f (7) = 1$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 3.3

Konvertiere $1$ nach Dezimal.

$y = 1$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 5$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = \log_{4} ((5) - 3)$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$f (5) = \log_{4} (2)$

Schritt 4.2.2

Die logarithmische Basis $4$ von $2$ ist $\frac{1}{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe zu einer Gleichung um.

$\log_{4} (2) = x$

Schritt 4.2.2.2

Schreibe $\log_{4} (2) = x$ mithilfe der Definition eines Logarithmus in Exponentialform um. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ nicht gleich $1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$4^{x} = 2$

Schritt 4.2.2.3

Erzeuge Ausdrücke in der Gleichung, die alle die gleiche Basis haben.

${(2^{2})}^{x} = 2^{1}$

Schritt 4.2.2.4

Schreibe ${(2^{2})}^{x}$ als $2^{2 x}$ um.

$2^{2 x} = 2^{1}$

Schritt 4.2.2.5

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$2 x = 1$

Schritt 4.2.2.6

Löse nach $x$ auf.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.2.7

Die Variable $x$ ist gleich $\frac{1}{2}$ .

$f (5) = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 4.3

Konvertiere $\frac{1}{2}$ nach Dezimal.

$y = 0.5$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 3$ und den Punkten $(4, 0), (7, 1), (5, 0.5)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 3$

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 0 \\ 5 & 0.5 \\ 7 & 1 \end{array}$

Schritt 6