Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 16 - \frac{1}{4} x^{2}$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache $16 - \frac{1}{4} x^{2}$ .

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Schritt 1.1.1.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{4}$ .

$y = 16 - \frac{x^{2}}{4}$

Schritt 1.1.1.2

Stelle $16$ und $- \frac{x^{2}}{4}$ um.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + 16$

Schritt 1.1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{x^{2}}{4} + 16$ an.

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Schritt 1.1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{4}$

$b = 0$

$c = 16$

Schritt 1.1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{0}{2 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 1.1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.1.2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{0}{- \frac{1}{4}}$

Schritt 1.1.2.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 0 (- 1 \cdot 4)$

Schritt 1.1.2.3.2.3

Multipliziere $0 (- 1 \cdot 4)$ .

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Schritt 1.1.2.3.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$d = 0 \cdot - 4$

Schritt 1.1.2.3.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $- 4$ .

$d = 0$

Schritt 1.1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 16 - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$e = 16 - \frac{0}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 16 - \frac{0}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{4}$ .

$e = 16 - \frac{0}{\frac{- 4}{4}}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.3

Dividiere $- 4$ durch $4$ .

$e = 16 - \frac{0}{- 1}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.4

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$e = 16 - 0$

Schritt 1.1.2.4.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e = 16 + 0$

Schritt 1.1.2.4.2.2

Addiere $16$ und $0$ .

$e = 16$

Schritt 1.1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{4} {(x + 0)}^{2} + 16$ ein.

$- \frac{1}{4} {(x + 0)}^{2} + 16$

Schritt 1.1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x + 0)}^{2} + 16$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 0$

$k = 16$

Schritt 1.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(0, 16)$

Schritt 1.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache.

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Schritt 1.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 1.5.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.5.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Schritt 1.5.3.3

Dividiere $4$ durch $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Schritt 1.5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 1.5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{1}$

Schritt 1.5.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 1$

Schritt 1.5.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(0, 15)$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 0$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = 17$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(0, 16)$

Brennpunkt: $(0, 15)$

Symmetrieachse: $x = 0$

Leitlinie: $y = 17$

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(0, 16)$

Brennpunkt: $(0, 15)$

Symmetrieachse: $x = 0$

Leitlinie: $y = 17$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + 16$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2) = - \frac{4}{4} + 16$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2) = - \frac{4}{4} + 16$

Schritt 2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2) = - 1 \cdot 1 + 16$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- 2) = - 1 + 16$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 1$ und $16$ .

$f (- 2) = 15$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $15$ .

$15$

Schritt 2.3

Der $y$ -Wert bei $x = - 2$ ist $15$ .

$y = 15$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{4} + 16$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.5.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{4} + 16$

Schritt 2.5.2

Um $16$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{4} + 16 \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 2.5.3

Kombiniere $16$ und $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 1) = \frac{- 1 + 16 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.5.1

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 64}{4}$

Schritt 2.5.5.2

Addiere $- 1$ und $64$ .

$f (- 1) = \frac{63}{4}$

Schritt 2.5.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{63}{4}$ .

$\frac{63}{4}$

Schritt 2.6

Der $y$ -Wert bei $x = - 1$ ist $\frac{63}{4}$ .

$y = \frac{63}{4}$

Schritt 2.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{4} + 16$

Schritt 2.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = - \frac{4}{4} + 16$

Schritt 2.8.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.8.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2) = - \frac{4}{4} + 16$

Schritt 2.8.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (2) = - 1 \cdot 1 + 16$

Schritt 2.8.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (2) = - 1 + 16$

Schritt 2.8.2

Addiere $- 1$ und $16$ .

$f (2) = 15$

Schritt 2.8.3

Die endgültige Lösung ist $15$ .

$15$

Schritt 2.9

Der $y$ -Wert bei $x = 2$ ist $15$ .

$y = 15$

Schritt 2.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{4} + 16$

Schritt 2.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.11.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = - \frac{1}{4} + 16$

Schritt 2.11.2

Um $16$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = - \frac{1}{4} + 16 \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 2.11.3

Kombiniere $16$ und $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = - \frac{1}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.11.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (1) = \frac{- 1 + 16 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.11.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.11.5.1

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$f (1) = \frac{- 1 + 64}{4}$

Schritt 2.11.5.2

Addiere $- 1$ und $64$ .

$f (1) = \frac{63}{4}$

Schritt 2.11.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{63}{4}$ .

$\frac{63}{4}$

Schritt 2.12

Der $y$ -Wert bei $x = 1$ ist $\frac{63}{4}$ .

$y = \frac{63}{4}$

Schritt 2.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 15 \\ - 1 & \frac{63}{4} \\ 0 & 16 \\ 1 & \frac{63}{4} \\ 2 & 15 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(0, 16)$

Brennpunkt: $(0, 15)$

Symmetrieachse: $x = 0$

Leitlinie: $y = 17$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 15 \\ - 1 & \frac{63}{4} \\ 0 & 16 \\ 1 & \frac{63}{4} \\ 2 & 15 \end{array}$

Schritt 4