Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = - 2 x^{2} - 5 x - 4$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 2 x^{2} - 5 x - 4$ an.

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Schritt 1.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 2$

$b = - 5$

$c = - 4$

Schritt 1.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 5}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$d = \frac{- 5}{- 4}$

Schritt 1.1.1.3.2.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$d = \frac{5}{4}$

Schritt 1.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 4 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot - 2}$

Schritt 1.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.4.2.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$e = - 4 - \frac{25}{4 \cdot - 2}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$e = - 4 - \frac{25}{- 8}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - 4 - - \frac{25}{8}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.4

Multipliziere $- - \frac{25}{8}$ .

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Schritt 1.1.1.4.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = - 4 + 1 (\frac{25}{8})$

Schritt 1.1.1.4.2.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{25}{8}$ mit $1$ .

$e = - 4 + \frac{25}{8}$

Schritt 1.1.1.4.2.2

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$e = - 4 \cdot \frac{8}{8} + \frac{25}{8}$

Schritt 1.1.1.4.2.3

Kombiniere $- 4$ und $\frac{8}{8}$ .

$e = \frac{- 4 \cdot 8}{8} + \frac{25}{8}$

Schritt 1.1.1.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 4 \cdot 8 + 25}{8}$

Schritt 1.1.1.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.4.2.5.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$e = \frac{- 32 + 25}{8}$

Schritt 1.1.1.4.2.5.2

Addiere $- 32$ und $25$ .

$e = \frac{- 7}{8}$

Schritt 1.1.1.4.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{7}{8}$

Schritt 1.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 2 {(x + \frac{5}{4})}^{2} - \frac{7}{8}$ ein.

$- 2 {(x + \frac{5}{4})}^{2} - \frac{7}{8}$

Schritt 1.1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - 2 {(x + \frac{5}{4})}^{2} - \frac{7}{8}$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 2$

$h = - \frac{5}{4}$

$k = - \frac{7}{8}$

Schritt 1.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- \frac{5}{4}, - \frac{7}{8})$

Schritt 1.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache.

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Schritt 1.5.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{- 8}$

Schritt 1.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{8}$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- \frac{5}{4}, - 1)$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = - \frac{5}{4}$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - \frac{3}{4}$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(- \frac{5}{4}, - \frac{7}{8})$

Brennpunkt: $(- \frac{5}{4}, - 1)$

Symmetrieachse: $x = - \frac{5}{4}$

Leitlinie: $y = - \frac{3}{4}$

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(- \frac{5}{4}, - \frac{7}{8})$

Brennpunkt: $(- \frac{5}{4}, - 1)$

Symmetrieachse: $x = - \frac{5}{4}$

Leitlinie: $y = - \frac{3}{4}$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = - 2 {(- 2)}^{2} - 5 \cdot - 2 - 4$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere $- 2$ mit ${(- 2)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit ${(- 2)}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1.1

Potenziere $- 2$ mit $1$ .

$f (- 2) = (- 2) {(- 2)}^{2} - 5 \cdot - 2 - 4$

Schritt 2.2.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- 2) = {(- 2)}^{1 + 2} - 5 \cdot - 2 - 4$

Schritt 2.2.1.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{3} - 5 \cdot - 2 - 4$

Schritt 2.2.1.2

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f (- 2) = - 8 - 5 \cdot - 2 - 4$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = - 8 + 10 - 4$

Schritt 2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.2.1

Addiere $- 8$ und $10$ .

$f (- 2) = 2 - 4$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$f (- 2) = - 2$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 2.3

Der $y$ -Wert bei $x = - 2$ ist $- 2$ .

$y = - 2$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = - 2 {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 3 - 4$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f (- 3) = - 2 \cdot 9 - 5 \cdot - 3 - 4$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $9$ .

$f (- 3) = - 18 - 5 \cdot - 3 - 4$

Schritt 2.5.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 3$ .

$f (- 3) = - 18 + 15 - 4$

Schritt 2.5.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $- 18$ und $15$ .

$f (- 3) = - 3 - 4$

Schritt 2.5.2.2

Subtrahiere $4$ von $- 3$ .

$f (- 3) = - 7$

Schritt 2.5.3

Die endgültige Lösung ist $- 7$ .

$- 7$

Schritt 2.6

Der $y$ -Wert bei $x = - 3$ ist $- 7$ .

$y = - 7$

Schritt 2.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - 2 {(0)}^{2} - 5 \cdot 0 - 4$

Schritt 2.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = - 2 \cdot 0 - 5 \cdot 0 - 4$

Schritt 2.8.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0 - 4$

Schritt 2.8.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 4$

Schritt 2.8.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.8.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 - 4$

Schritt 2.8.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$f (0) = - 4$

Schritt 2.8.3

Die endgültige Lösung ist $- 4$ .

$- 4$

Schritt 2.9

Der $y$ -Wert bei $x = 0$ ist $- 4$ .

$y = - 4$

Schritt 2.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = - 2 {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 - 4$

Schritt 2.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = - 2 \cdot 1 - 5 \cdot 1 - 4$

Schritt 2.11.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (1) = - 2 - 5 \cdot 1 - 4$

Schritt 2.11.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$f (1) = - 2 - 5 - 4$

Schritt 2.11.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 2.11.2.1

Subtrahiere $5$ von $- 2$ .

$f (1) = - 7 - 4$

Schritt 2.11.2.2

Subtrahiere $4$ von $- 7$ .

$f (1) = - 11$

Schritt 2.11.3

Die endgültige Lösung ist $- 11$ .

$- 11$

Schritt 2.12

Der $y$ -Wert bei $x = 1$ ist $- 11$ .

$y = - 11$

Schritt 2.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 7 \\ - 2 & - 2 \\ - \frac{5}{4} & - \frac{7}{8} \\ 0 & - 4 \\ 1 & - 11 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(- \frac{5}{4}, - \frac{7}{8})$

Brennpunkt: $(- \frac{5}{4}, - 1)$

Symmetrieachse: $x = - \frac{5}{4}$

Leitlinie: $y = - \frac{3}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 7 \\ - 2 & - 2 \\ - \frac{5}{4} & - \frac{7}{8} \\ 0 & - 4 \\ 1 & - 11 \end{array}$

Schritt 4