Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 2 + \log_{5} (x)$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Ermittle, wo der Ausdruck $2 + \log_{5} (x)$ nicht definiert ist.

$x \leq 0$

Schritt 1.2

Da $2 + \log_{5} (x)$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von links und $2 + \log_{5} (x)$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von rechts, dann ist $x = 0$ eine vertikale Asymptote.

$x = 0$

Schritt 1.3

Den Logarithmus außer Acht lassend, betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 1.4

Es gibt keine horizontalen Asymptoten, da $Q (x)$ $1$ ist.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 1.5

Es sind keine schiefen Asymptoten für logarithmische und trigonometrische Funktionen vorhanden.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 1.6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Keine horizontalen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = 2 + \log_{5} (1)$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Die logarithmische Basis $5$ von $1$ ist $0$ .

$f (1) = 2 + 0$

Schritt 2.2.2

Addiere $2$ und $0$ .

$f (1) = 2$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 2.3

Konvertiere $2$ nach Dezimal.

$y = 2$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 5$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = 2 + \log_{5} (5)$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Die logarithmische Basis $5$ von $5$ ist $1$ .

$f (5) = 2 + 1$

Schritt 3.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f (5) = 3$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$3$

Schritt 3.3

Konvertiere $3$ nach Dezimal.

$y = 3$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 2$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = 2 + \log_{5} (2)$

Schritt 4.2

Die endgültige Lösung ist $2 + \log_{5} (2)$ .

$2 + \log_{5} (2)$

Schritt 4.3

Konvertiere $2 + \log_{5} (2)$ nach Dezimal.

$y = 2.43067655$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 0$ und den Punkten $(1, 2), (5, 3), (2, 2.43067655)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2 \\ 2 & 2.431 \\ 5 & 3 \end{array}$

Schritt 6