Elementarmathematik Beispiele

$(\frac{π}{2}, π)$

Schritt 1

Um den $\sin (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(\frac{π}{2}, π)$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(\frac{π}{2}, 0)$ und $(\frac{π}{2}, π)$ .

Gegenüberliegend : $π$

Ankathete : $\frac{π}{2}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{π}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{π^{2}}{2^{2}} + {(π)}^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{π^{2}}{4} + {(π)}^{2}}$

Schritt 2.3

Um $π^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{π^{2}}{4} + π^{2} \cdot \frac{4}{4}}$

Schritt 2.4

Kombiniere $π^{2}$ und $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{π^{2}}{4} + \frac{π^{2} \cdot 4}{4}}$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{π^{2} + π^{2} \cdot 4}{4}}$

Schritt 2.6

Schreibe $\frac{π^{2} + π^{2} \cdot 4}{4}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.6.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π^{2}$ .

$\sqrt{\frac{π^{2} + 4 \cdot π^{2}}{4}}$

Schritt 2.6.2

Addiere $π^{2}$ und $4 π^{2}$ .

$\sqrt{\frac{5 π^{2}}{4}}$

Schritt 2.7

Schreibe $\sqrt{\frac{5 π^{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{5 π^{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$\frac{\sqrt{5 π^{2}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.1

Stelle $5$ und $π^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{π^{2} \cdot 5}}{\sqrt{4}}$

Schritt 2.8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{π \sqrt{5}}{\sqrt{4}}$

Schritt 2.9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.9.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{π \sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 2.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{π \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3

Aus $\sin (θ) = \frac{Gegenüberliegend}{Hypotenuse}$ folgt $\sin (θ) = \frac{π}{\frac{π \sqrt{5}}{2}}$ .

$\frac{π}{\frac{π \sqrt{5}}{2}}$

Schritt 4

Vereinfache $\sin (θ)$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin (θ) = π (\frac{2}{π \sqrt{5}})$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π \sqrt{5}$ heraus.

$\sin (θ) = π (\frac{2}{π (\sqrt{5})})$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = π (\frac{2}{π \sqrt{5}})$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (θ) = \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 4.4.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 4.4.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 4.4.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \approx 0.89442719$