Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{x + 1} - 3 x = 1$

Schritt 1

Addiere $3 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{x + 1} = 1 + 3 x$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x + 1}}^{2} = {(1 + 3 x)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 1}$ als ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + 3 x)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + 3 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + 3 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 1)}^{1} = {(1 + 3 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$x + 1 = {(1 + 3 x)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(1 + 3 x)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(1 + 3 x)}^{2}$ als $(1 + 3 x) (1 + 3 x)$ um.

$x + 1 = (1 + 3 x) (1 + 3 x)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(1 + 3 x) (1 + 3 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 1 = 1 (1 + 3 x) + 3 x (1 + 3 x)$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 1 = 1 \cdot 1 + 1 (3 x) + 3 x (1 + 3 x)$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 1 = 1 \cdot 1 + 1 (3 x) + 3 x \cdot 1 + 3 x (3 x)$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$x + 1 = 1 + 1 (3 x) + 3 x \cdot 1 + 3 x (3 x)$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $3 x$ mit $1$ .

$x + 1 = 1 + 3 x + 3 x \cdot 1 + 3 x (3 x)$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$x + 1 = 1 + 3 x + 3 x + 3 x (3 x)$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x + 1 = 1 + 3 x + 3 x + 3 \cdot 3 x \cdot x$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$x + 1 = 1 + 3 x + 3 x + 3 \cdot 3 (x \cdot x)$

Schritt 3.3.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x + 1 = 1 + 3 x + 3 x + 3 \cdot 3 x^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x + 1 = 1 + 3 x + 3 x + 9 x^{2}$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $3 x$ und $3 x$ .

$x + 1 = 1 + 6 x + 9 x^{2}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$1 + 6 x + 9 x^{2} = x + 1$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$1 + 6 x + 9 x^{2} - x = 1$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $x$ von $6 x$ .

$1 + 9 x^{2} + 5 x = 1$

Schritt 4.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$1 + 9 x^{2} + 5 x - 1 = 0$

Schritt 4.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + 9 x^{2} + 5 x - 1$ .

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Schritt 4.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$9 x^{2} + 5 x + 0 = 0$

Schritt 4.4.2

Addiere $9 x^{2} + 5 x$ und $0$ .

$9 x^{2} + 5 x = 0$

Schritt 4.5

Faktorisiere $x$ aus $9 x^{2} + 5 x$ heraus.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $x$ aus $9 x^{2}$ heraus.

$x (9 x) + 5 x = 0$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere $x$ aus $5 x$ heraus.

$x (9 x) + x \cdot 5 = 0$

Schritt 4.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x (9 x) + x \cdot 5$ heraus.

$x (9 x + 5) = 0$

Schritt 4.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$9 x + 5 = 0$

Schritt 4.7

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.8

Setze $9 x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.8.1

Setze $9 x + 5$ gleich $0$ .

$9 x + 5 = 0$

Schritt 4.8.2

Löse $9 x + 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.8.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 x = - 5$

Schritt 4.8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $9 x = - 5$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 4.8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 x = - 5$ durch $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 5}{9}$

Schritt 4.8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 4.8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 5}{9}$

Schritt 4.8.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{9}$

Schritt 4.8.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.8.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{9}$

Schritt 4.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (9 x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - \frac{5}{9}$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{x + 1} - 3 x = 1$ nicht erfüllen.

$x = 0$