Elementarmathematik Beispiele

$y = 2 x^{2} - 5 x + 1$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $2 x^{2} - 5 x + 1$ an.

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Schritt 1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 2$

$b = - 5$

$c = 1$

Schritt 1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$d = \frac{- 5}{4}$

Schritt 1.1.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{5}{4}$

Schritt 1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 1 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$e = 1 - \frac{25}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$e = 1 - \frac{25}{8}$

Schritt 1.1.4.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{8}{8} - \frac{25}{8}$

Schritt 1.1.4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{8 - 25}{8}$

Schritt 1.1.4.2.4

Subtrahiere $25$ von $8$ .

$e = \frac{- 17}{8}$

Schritt 1.1.4.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{17}{8}$

Schritt 1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $2 {(x - \frac{5}{4})}^{2} - \frac{17}{8}$ ein.

$2 {(x - \frac{5}{4})}^{2} - \frac{17}{8}$

Schritt 1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = 2 {(x - \frac{5}{4})}^{2} - \frac{17}{8}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 2$

$h = \frac{5}{4}$

$k = - \frac{17}{8}$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(\frac{5}{4}, - \frac{17}{8})$

Schritt 4