Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{x^{4} - 16 x^{2}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{4} - 16 x^{2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{4} - 16 x^{2} \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{4} - 16 x^{2} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4} - 16 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$x^{2} x^{2} - 16 x^{2} = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 16 x^{2}$ heraus.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16$ heraus.

$x^{2} (x^{2} - 16) = 0$

Schritt 2.2.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x^{2} (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$x^{2} ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Schritt 2.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{2} (x + 4) (x - 4) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 2.6

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{2} (x + 4) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 4, 4$

Schritt 2.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Schritt 2.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 2.9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 6)}^{4} - 16 {(- 6)}^{2} \geq 0$

Schritt 2.9.1.3

Die linke Seite $720$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 2.9.2.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 2)}^{4} - 16 {(- 2)}^{2} \geq 0$

Schritt 2.9.2.3

Die linke Seite $- 48$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.9.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 2.9.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(2)}^{4} - 16 {(2)}^{2} \geq 0$

Schritt 2.9.3.3

Die linke Seite $- 48$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.9.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 2.9.4.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(6)}^{4} - 16 {(6)}^{2} \geq 0$

Schritt 2.9.4.3

Die linke Seite $720$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.9.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 4$ Wahr

$- 4 < x < 0$ Falsch

$0 < x < 4$ Falsch

$x > 4$ Wahr

$x < - 4$ Wahr

$- 4 < x < 0$ Falsch

$0 < x < 4$ Falsch

$x > 4$ Wahr

Schritt 2.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 4$ oder $x \geq 4$ oder $x = 0$

Schritt 2.11

Vereine die Intervalle.

$x \leq - 4 or x = 0 or x \geq 4$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 4] \cup [0, 0] \cup [4, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq - 4, x \geq 4, x = 0}$

Schritt 4

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \geq 0}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, - 4] \cup [0, 0] \cup [4, \infty), {x | x \leq - 4, x \geq 4, x = 0}$

Wertebereich: $[0, \infty), {y | y \geq 0}$

Schritt 6