Elementarmathematik Beispiele

$- 2 + 8 i$

Schritt 1

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 2

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 3

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = - 2$ und $b = 8$ .

$| z | = \sqrt{8^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Schritt 4

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 4.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{64 + {(- 2)}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{64 + 4}$

Schritt 4.3

Addiere $64$ und $4$ .

$| z | = \sqrt{68}$

Schritt 4.4

Schreibe $68$ als $2^{2} \cdot 17$ um.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $4$ aus $68$ heraus.

$| z | = \sqrt{4 (17)}$

Schritt 4.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{2^{2} \cdot 17}$

Schritt 4.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| z | = 2 \sqrt{17}$

Schritt 5

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{8}{- 2})$

Schritt 6

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{8}{- 2}$ einen Winkel im zweiten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $1.81577498$ .

$θ = 1.81577498$

Schritt 7

Substituiere die Werte von $θ = 1.81577498$ und $| z | = 2 \sqrt{17}$ .

$2 \sqrt{17} (\cos (1.81577498) + i \sin (1.81577498))$