Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 6 x^{2} + 12 x - 1$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 6 x^{2} + 12 x - 1$ als Gleichung.

$y = 6 x^{2} + 12 x - 1$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $6 x^{2} + 12 x - 1$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 6$

$b = 12$

$c = - 1$

Schritt 2.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{12}{2 \cdot 6}$

Schritt 2.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 6}$

Schritt 2.1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 6$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (6)}$

Schritt 2.1.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 6}$

Schritt 2.1.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{6}{6}$

Schritt 2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{6}{6}$

Schritt 2.1.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = 1$

Schritt 2.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 1 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 6}$

Schritt 2.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$e = - 1 - \frac{144}{4 \cdot 6}$

Schritt 2.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$e = - 1 - \frac{144}{24}$

Schritt 2.1.4.2.1.3

Dividiere $144$ durch $24$ .

$e = - 1 - 1 \cdot 6$

Schritt 2.1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$e = - 1 - 6$

Schritt 2.1.4.2.2

Subtrahiere $6$ von $- 1$ .

$e = - 7$

Schritt 2.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $6 {(x + 1)}^{2} - 7$ ein.

$6 {(x + 1)}^{2} - 7$

Schritt 2.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = 6 {(x + 1)}^{2} - 7$

Schritt 3

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 6$

$h = - 1$

$k = - 7$

Schritt 4

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 5

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 1, - 7)$

Schritt 6

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 6.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 6}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$\frac{1}{24}$

Schritt 7

Ermittle den Brennpunkt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 1, - \frac{167}{24})$

Schritt 8

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = - 1$

Schritt 9