Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = {(2 - x^{3})}^{5}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = {(2 - x^{3})}^{5}$ als Gleichung.

$y = {(2 - x^{3})}^{5}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = {(2 - y^{3})}^{5}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als ${(2 - y^{3})}^{5} = x$ um.

${(2 - y^{3})}^{5} = x$

Schritt 3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$2 - y^{3} = \sqrt[5]{x}$

Schritt 3.3

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{3} = \sqrt[5]{x} - 2$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $- y^{3} = \sqrt[5]{x} - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- y^{3} = \sqrt[5]{x} - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{\sqrt[5]{x}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{\sqrt[5]{x}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2

Dividiere $y^{3}$ durch $1$ .

$y^{3} = \frac{\sqrt[5]{x}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt[5]{x}}{- 1}$ .

$y^{3} = - 1 \cdot \sqrt[5]{x} + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.4.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \sqrt[5]{x}$ als $- \sqrt[5]{x}$ um.

$y^{3} = - \sqrt[5]{x} + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.4.3.1.3

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$y^{3} = - \sqrt[5]{x} + 2$

Schritt 3.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = {(2 - x^{3})}^{5}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5}) = \sqrt[3]{- \sqrt[5]{{(2 - x^{3})}^{5}} + 2}$

Schritt 5.2.3

Entferne die Klammern.

$f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5}) = \sqrt[3]{- \sqrt[5]{{(2 - x^{3})}^{5}} + 2}$

Schritt 5.2.4

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5}) = \sqrt[3]{- (2 - x^{3}) + 2}$

Schritt 5.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5}) = \sqrt[3]{- 1 \cdot 2 + x^{3} + 2}$

Schritt 5.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5}) = \sqrt[3]{- 2 + x^{3} + 2}$

Schritt 5.2.7

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Schritt 5.2.8

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Schritt 5.2.9

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 - {(\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2})}^{3})}^{5}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Schreibe ${\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}}^{3}$ als $- \sqrt[5]{x} + 2$ um.

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Schritt 5.3.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}$ als ${(- \sqrt[5]{x} + 2)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 - {({(- \sqrt[5]{x} + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3})}^{5}$

Schritt 5.3.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 - {(- \sqrt[5]{x} + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3})}^{5}$

Schritt 5.3.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 - {(- \sqrt[5]{x} + 2)}^{\frac{3}{3}})}^{5}$

Schritt 5.3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 - {(- \sqrt[5]{x} + 2)}^{\frac{3}{3}})}^{5}$

Schritt 5.3.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 - (- \sqrt[5]{x} + 2))}^{5}$

Schritt 5.3.3.1.5

Vereinfache.

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 - (- \sqrt[5]{x} + 2))}^{5}$

Schritt 5.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 + \sqrt[5]{x} - 1 \cdot 2)}^{5}$

Schritt 5.3.3.3

Multipliziere $- - \sqrt[5]{x}$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 + 1 \sqrt[5]{x} - 1 \cdot 2)}^{5}$

Schritt 5.3.3.3.2

Mutltipliziere $\sqrt[5]{x}$ mit $1$ .

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 + \sqrt[5]{x} - 1 \cdot 2)}^{5}$

Schritt 5.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 + \sqrt[5]{x} - 2)}^{5}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 + \sqrt[5]{x} - 2$ .

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Schritt 5.3.4.1.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(0 + \sqrt[5]{x})}^{5}$

Schritt 5.3.4.1.2

Addiere $0$ und $\sqrt[5]{x}$ .

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {\sqrt[5]{x}}^{5}$

Schritt 5.3.4.2

Schreibe ${\sqrt[5]{x}}^{5}$ als $x$ um.

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Schritt 5.3.4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{x}$ als $x^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Schritt 5.3.4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Schritt 5.3.4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = x^{\frac{5}{5}}$

Schritt 5.3.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = x^{\frac{5}{5}}$

Schritt 5.3.4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = x$

Schritt 5.3.4.2.5

Vereinfache.

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = {(2 - x^{3})}^{5}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}$