Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1}{x}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{y}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{y} = x$ um.

$\frac{1}{y} = x$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y, 1$

Schritt 2.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{y} = x$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{y} = x$ mit $y$ .

$\frac{1}{y} y = x y$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} y = x y$

Schritt 2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = x y$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Schreibe die Gleichung als $x y = 1$ um.

$x y = 1$

Schritt 2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $x y = 1$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x y = 1$ durch $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{x}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{x}$

Schritt 2.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{x}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{x}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Schritt 4.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{1}{x}) = 1 x$

Schritt 4.2.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{1}{x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{1}{x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Schritt 4.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{1}{x}) = 1 x$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{1}{x}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x}$