Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{i = 1}^{\infty} 12 {(- 0.7)}^{i - 1}$

Schritt 1

Die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $\frac{a}{1 - r}$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{i}$ und $a_{i + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{12 {(- 0.7)}^{i + 1 - 1}}{12 {(- 0.7)}^{i - 1}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{12 {(- 0.7)}^{i + 1 - 1}}{12 {(- 0.7)}^{i - 1}}$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{(- 0.7)}^{i + 1 - 1}}{{(- 0.7)}^{i - 1}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 0.7)}^{i + 1 - 1}$ und ${(- 0.7)}^{i - 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere ${(- 0.7)}^{i - 1}$ aus ${(- 0.7)}^{i + 1 - 1}$ heraus.

$r = \frac{{(- 0.7)}^{i - 1} {(- 0.7)}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- 0.7)}^{i - 1}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{{(- 0.7)}^{i - 1} {(- 0.7)}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- 0.7)}^{i - 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{{(- 0.7)}^{i - 1} {(- 0.7)}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- 0.7)}^{i - 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{(- 0.7)}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Schritt 2.2.2.2.4

Dividiere ${(- 0.7)}^{i + 0 - (i - 1)}$ durch $1$ .

$r = {(- 0.7)}^{i + 0 - (i - 1)}$

Schritt 2.2.3

Addiere $i$ und $0$ .

$r = {(- 0.7)}^{i - (i - 1)}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r = {(- 0.7)}^{i - i - - 1}$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$r = {(- 0.7)}^{i - i + 1}$

Schritt 2.2.5

Subtrahiere $i$ von $i$ .

$r = {(- 0.7)}^{0 + 1}$

Schritt 2.2.6

Addiere $0$ und $1$ .

$r = {(- 0.7)}^{1}$

Schritt 2.2.7

Berechne den Exponenten.

$r = - 0.7$

Schritt 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Schritt 4

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 4.1

Setze $1$ für $i$ in $12 {(- 0.7)}^{i - 1}$ ein.

$a = 12 {(- 0.7)}^{1 - 1}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$a = 12 {(- 0.7)}^{0}$

Schritt 4.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = 12 \cdot 1$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$a = 12$

Schritt 5

Ersetze die Werte des Verhältnisses und des ersten Terms in der Summenformel.

$\frac{12}{1 + 0.7}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Addiere $1$ und $0.7$ .

$\frac{12}{1.7}$

Schritt 6.2

Dividiere $12$ durch $1.7$ .

$7.05882352$