Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + y = 0$ , $x^{3} - 12 x - y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - x^{2}$

$x^{3} - 12 x - y = 0$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- x^{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $y$ in $x^{3} - 12 x - y = 0$ durch $- x^{2}$ .

$x^{3} - 12 x - (- x^{2}) = 0$

$y = - x^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere $- (- x^{2})$ .

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{3} - 12 x + 1 x^{2} = 0$

$y = - x^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{3} - 12 x + x^{2} = 0$

$y = - x^{2}$

$x^{3} - 12 x + x^{2} = 0$

$y = - x^{2}$

$x^{3} - 12 x + x^{2} = 0$

$y = - x^{2}$

$x^{3} - 12 x + x^{2} = 0$

$y = - x^{2}$

Schritt 3

Löse in $x^{3} - 12 x + x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 12 x + x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{2} - 12 x + x^{2} = 0$

$y = - x^{2}$

Schritt 3.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 12 x$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + x^{2} = 0$

$y = - x^{2}$

Schritt 3.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + x \cdot x = 0$

$y = - x^{2}$

Schritt 3.1.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot - 12$ heraus.

$x (x^{2} - 12) + x \cdot x = 0$

$y = - x^{2}$

Schritt 3.1.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} - 12) + x \cdot x$ heraus.

$x (x^{2} - 12 + x) = 0$

$y = - x^{2}$

$x (x^{2} - 12 + x) = 0$

$y = - x^{2}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.1.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 12 + x$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $1$ ist.

$- 3, 4$

$y = - x^{2}$

Schritt 3.1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x ((x - 3) (x + 4)) = 0$

$y = - x^{2}$

$x ((x - 3) (x + 4)) = 0$

$y = - x^{2}$

Schritt 3.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x - 3) (x + 4) = 0$

$y = - x^{2}$

$x (x - 3) (x + 4) = 0$

$y = - x^{2}$

$x (x - 3) (x + 4) = 0$

$y = - x^{2}$

Schritt 3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

$y = - x^{2}$

Schritt 3.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

$y = - x^{2}$

Schritt 3.4

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$y = - x^{2}$

Schritt 3.4.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

$y = - x^{2}$

$x = 3$

$y = - x^{2}$

Schritt 3.5

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

$y = - x^{2}$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

$y = - x^{2}$

$x = - 4$

$y = - x^{2}$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - 3) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 3, - 4$

$y = - x^{2}$

$x = 0, 3, - 4$

$y = - x^{2}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $x$ in $y = - x^{2}$ durch $0$ .

$y = - {(0)}^{2}$

$x = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- {(0)}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = - 0$

$x = 0$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $x$ in $y = - x^{2}$ durch $3$ .

$y = - {(3)}^{2}$

$x = 3$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $- {(3)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = - 1 \cdot 9$

$x = 3$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$y = - 9$

$x = 3$

$y = - 9$

$x = 3$

$y = - 9$

$x = 3$

$y = - 9$

$x = 3$

Schritt 6

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.1

Ersetze alle $x$ in $y = - x^{2}$ durch $0$ .

$y = - {(0)}^{2}$

$x = 0$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache $- {(0)}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = - 0$

$x = 0$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

Schritt 7

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 7.1

Ersetze alle $x$ in $y = - x^{2}$ durch $3$ .

$y = - {(3)}^{2}$

$x = 3$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache $- {(3)}^{2}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = - 1 \cdot 9$

$x = 3$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$y = - 9$

$x = 3$

$y = - 9$

$x = 3$

$y = - 9$

$x = 3$

$y = - 9$

$x = 3$

Schritt 8

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 4$ in jeder Gleichung.

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Schritt 8.1

Ersetze alle $x$ in $y = - x^{2}$ durch $- 4$ .

$y = - {(- 4)}^{2}$

$x = - 4$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache $- {(- 4)}^{2}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$y = - 1 \cdot 16$

$x = - 4$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$y = - 16$

$x = - 4$

$y = - 16$

$x = - 4$

$y = - 16$

$x = - 4$

$y = - 16$

$x = - 4$

Schritt 9

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, 0)$

$(3, - 9)$

$(- 4, - 16)$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(0, 0), (3, - 9), (- 4, - 16)$

Gleichungsform:

$x = 0, y = 0$

$x = 3, y = - 9$

$x = - 4, y = - 16$

Schritt 11